เนื้อหา

• ขั้นตอน
• วิธีที่ 1 จาก 3: วิธีค้นหาด้านที่ไม่รู้จัก
• วิธีที่ 2 จาก 3: การหามุมที่ไม่รู้จัก
• วิธีที่ 3 จาก 3: ปัญหาตัวอย่าง
• เคล็ดลับ

ทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาตรีโกณมิติ ใช้เมื่อทำงานกับสามเหลี่ยมไม่ปกติเพื่อหาปริมาณที่ไม่ทราบค่า เช่น ด้านและมุม ทฤษฎีบทนี้คล้ายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและจำง่ายพอสมควร ทฤษฎีบทโคไซน์บอกว่าในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: วิธีค้นหาด้านที่ไม่รู้จัก

1. 1 เขียนค่าที่ทราบ ในการหาด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม คุณจำเป็นต้องรู้อีกสองด้านที่เหลือและมุมระหว่างพวกมัน
   • ตัวอย่างเช่น ให้รูปสามเหลี่ยม XYZ ด้าน YX คือ 5 ซม. ด้าน YZ คือ 9 ซม. และมุม Y คือ 89 ° ด้าน XZ คืออะไร?
2. 2 เขียนสูตรทฤษฎีบทโคไซน์ สูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ที่ไหน ${ displaystyle c}$ - บุคคลที่ไม่รู้จัก ${ displaystyle cos {C}}$ - โคไซน์ของมุมตรงข้ามกับด้านที่ไม่รู้จัก ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$ - สองด้านที่รู้จักกันดี
3. 3 เสียบค่าที่รู้จักลงในสูตร ตัวแปร ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$ หมายถึงสองด้านที่รู้จัก ตัวแปร ${ displaystyle C}$ คือมุมที่รู้จักซึ่งอยู่ระหว่างด้าน ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$.
   • ในตัวอย่างของเรา ไม่ทราบด้าน XZ ดังนั้นในสูตรจะแสดงเป็น ${ displaystyle c}$... เนื่องจากรู้จักด้าน YX และ YZ จึงแทนด้วยตัวแปร ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$... ตัวแปร ${ displaystyle C}$ คือมุม Y ดังนั้นสูตรจะถูกเขียนดังนี้: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 หาโคไซน์ของมุมที่รู้จัก ทำด้วยเครื่องคิดเลข ป้อนค่ามุม จากนั้นคลิก ${ displaystyle COS}$... หากคุณไม่มีเครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์ ให้ค้นหาตารางโคไซน์ออนไลน์ได้ที่นี่ นอกจากนี้ในยานเดกซ์ คุณสามารถป้อน "โคไซน์ของ X องศา" (แทนค่ามุมสำหรับ X) และเครื่องมือค้นหาจะแสดงโคไซน์ของมุม
   • ตัวอย่างเช่น โคไซน์คือ 89 ° ≈ 0.01745 ดังนั้น: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 คูณตัวเลข คูณ ${ displaystyle 2ab}$ โดยโคไซน์ของมุมที่รู้จัก
   • ตัวอย่างเช่น:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 พับสี่เหลี่ยมของด้านที่รู้จัก จำไว้ว่า การจะยกกำลังสองจำนวนนั้น ต้องคูณด้วยตัวมันเอง ขั้นแรก ยกกำลังสองตัวเลขที่เกี่ยวข้อง แล้วเพิ่มค่าผลลัพธ์
   • ตัวอย่างเช่น:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 ลบเลขสองตัว. คุณจะพบว่า ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • ตัวอย่างเช่น:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 หารากที่สองของค่านี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้เครื่องคิดเลข นี่คือวิธีที่คุณพบด้านที่ไม่รู้จัก
   • ตัวอย่างเช่น:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     ดังนั้นด้านที่ไม่รู้จักคือ 10.2191 ซม.

วิธีที่ 2 จาก 3: การหามุมที่ไม่รู้จัก

1. 1 เขียนค่าที่ทราบ ในการหามุมที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม คุณจำเป็นต้องรู้ทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม
   • ตัวอย่างเช่น รับสามเหลี่ยม RST CP ด้าน = 8 ซม., ST = 10 ซม., PT = 12 ซม. หาค่าของมุม S.
2. 2 เขียนสูตรทฤษฎีบทโคไซน์ สูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, ที่ไหน ${ displaystyle cos {C}}$ - โคไซน์ของมุมที่ไม่รู้จัก ${ displaystyle c}$ - ด้านที่รู้จักตรงข้ามมุมที่ไม่รู้จัก ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$ - อีกสองฝ่ายที่มีชื่อเสียง
3. 3 หาค่า NS{ displaystyle a}, NS{ displaystyle b} และ ค{ displaystyle c}. แล้วเสียบเข้าไปในสูตร
   • ตัวอย่างเช่น ด้าน RT อยู่ตรงข้ามกับมุมที่ไม่รู้จัก S ดังนั้นด้าน RT คือ ${ displaystyle c}$ ในสูตร บุคคลอื่นจะ ${ displaystyle a}$ และ ${ displaystyle b}$... ดังนั้นสูตรจะถูกเขียนดังนี้: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 คูณตัวเลข คูณ ${ displaystyle 2ab}$ โดยโคไซน์ของมุมที่ไม่รู้จัก
   • ตัวอย่างเช่น, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 ตั้งตรง ค{ displaystyle c} ในสี่เหลี่ยม นั่นคือ คูณจำนวนนั้นเอง
   • ตัวอย่างเช่น, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 พับสี่เหลี่ยม NS{ displaystyle a} และ NS{ displaystyle b}. แต่ก่อนอื่น ให้ยกกำลังสองตัวเลขที่สอดคล้องกัน
   • ตัวอย่างเช่น:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 แยกโคไซน์ของมุมที่ไม่รู้จัก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบจำนวนเงิน ${ displaystyle a ^ {2}}$ และ ${ displaystyle b ^ {2}}$ จากสมการทั้งสองข้าง จากนั้นหารสมการแต่ละข้างด้วยตัวประกอบที่โคไซน์ของมุมที่ไม่รู้จัก
   • ตัวอย่างเช่น ในการแยกโคไซน์ของมุมที่ไม่รู้จัก ให้ลบ 164 จากทั้งสองข้างของสมการ แล้วหารแต่ละด้านด้วย -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 คำนวณโคไซน์ผกผัน. ซึ่งจะหาค่าของมุมที่ไม่รู้จัก บนเครื่องคิดเลข ฟังก์ชันโคไซน์ผกผันจะแสดงแทน ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • ตัวอย่างเช่น อาร์คโคไซน์ของ 0.0125 คือ 82.8192 ดังนั้นมุม S คือ 82.8192 °

วิธีที่ 3 จาก 3: ปัญหาตัวอย่าง

1. 1 หาด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยม. ด้านที่ทราบคือ 20 ซม. และ 17 ซม. และมุมระหว่างพวกเขาคือ 68 °
   • เนื่องจากคุณได้รับสองด้านและมุมระหว่างพวกมัน คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ได้ เขียนสูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • ด้านที่ไม่รู้จักคือ ${ displaystyle c}$... เสียบค่าที่รู้จักลงในสูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • คำนวณ ${ displaystyle c ^ {2}}$, สังเกตลำดับของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ นี่คือวิธีที่คุณพบด้านที่ไม่รู้จัก:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     ดังนั้นด้านที่ไม่รู้จักคือ 20.8391 ซม.
2. 2 หามุม H ในรูปสามเหลี่ยม GHI ทั้งสองด้านที่อยู่ติดกับมุม H คือ 22 และ 16 ซม. ด้านตรงข้ามกับมุม H คือ 13 ซม.
   • เนื่องจากทั้งสามด้านมีให้ จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ได้ เขียนสูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • ด้านตรงข้ามกับมุมที่ไม่รู้จักคือ ${ displaystyle c}$... เสียบค่าที่รู้จักลงในสูตร: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • ลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • แยกโคไซน์:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • หาโคไซน์ผกผัน. นี่คือวิธีที่คุณคำนวณมุมที่ไม่รู้จัก:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     ดังนั้นมุม H คือ 35.7985 °
3. 3 หาความยาวของเส้นทาง เส้นทางแม่น้ำ เนินเขา และที่ลุ่มก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม ความยาวของเส้นทางแม่น้ำคือ 3 กม. ความยาวของเส้นทางเดินป่าคือ 5 กม. เส้นทางเหล่านี้ตัดกันที่มุม 135 ° เส้นทางหนองน้ำเชื่อมปลายทั้งสองของเส้นทางอื่นๆ ค้นหาความยาวของเส้นทางหนองน้ำ
   • ทางเดินเป็นรูปสามเหลี่ยม คุณต้องหาความยาวของเส้นทางที่ไม่รู้จักซึ่งเป็นด้านของสามเหลี่ยม เนื่องจากกำหนดความยาวของอีกสองเส้นทางและมุมระหว่างเส้นทางทั้งสอง จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ได้
   • เขียนสูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • เส้นทางที่ไม่รู้จัก (บึง) จะแสดงเป็น ${ displaystyle c}$... เสียบค่าที่รู้จักลงในสูตร: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • คำนวณ ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ นี่คือวิธีหาความยาวของเส้นทางที่ไม่รู้จัก:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.213}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     ดังนั้น ความยาวของ Swamp Trail คือ 7.4306 กม.

เคล็ดลับ

• ใช้ทฤษฎีบทไซน์ง่ายกว่า ดังนั้นก่อนอื่นให้ค้นหาว่าสามารถนำไปใช้กับปัญหาที่กำหนดได้หรือไม่