เนื้อหา

• ข้อมูลเบื้องต้น
• ขั้นตอน
• ส่วนที่ 1 จาก 3: พื้นฐาน
• ส่วนที่ 2 จาก 3: คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ
• ตอนที่ 3 จาก 3: ค้นหา Laplace Transform โดยการขยายซีรีส์

การแปลงลาปลาซเป็นการแปลงอินทิกรัลที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยสัมประสิทธิ์คงที่ การเปลี่ยนแปลงนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านฟิสิกส์และวิศวกรรม

แม้ว่าคุณจะใช้ตารางที่เหมาะสมได้ แต่การทำความเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของ Laplace ก็มีประโยชน์ เพื่อให้คุณทำเองได้หากจำเป็น

ข้อมูลเบื้องต้น

• รับหน้าที่ ${ displaystyle f (t)}$กำหนดไว้สำหรับ ${ displaystyle t geq 0.}$ แล้ว ลาปลาซ ทรานส์ฟอร์ม การทำงาน ${ displaystyle f (t)}$ เป็นฟังก์ชันถัดไปของแต่ละค่า ${ displaystyle s}$ซึ่งอินทิกรัลมาบรรจบกัน:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} NS}$
• การแปลง Laplace ใช้ฟังก์ชันจาก t-region (มาตราส่วนเวลา) ไปยัง s-region (ขอบเขตการเปลี่ยนแปลง) โดยที่ ${ displaystyle F (s)}$ เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรเชิงซ้อน ช่วยให้คุณสามารถย้ายฟังก์ชันไปยังพื้นที่ที่สามารถค้นหาโซลูชันได้ง่ายขึ้น
• เห็นได้ชัดว่าการแปลง Laplace เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น ดังนั้นหากเรากำลังจัดการกับผลรวมของเทอม ปริพันธ์แต่ละตัวสามารถคำนวณแยกกันได้
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• จำไว้ว่าการแปลงลาปลาซใช้ได้ก็ต่อเมื่ออินทิกรัลมาบรรจบกัน ถ้าฟังก์ชัน ${ displaystyle f (t)}$ มีความไม่ต่อเนื่อง จึงจำเป็นต้องระมัดระวังและกำหนดขอบเขตของการบูรณาการอย่างถูกต้องเพื่อหลีกเลี่ยงความไม่แน่นอน

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 3: พื้นฐาน

1. 1 แทนที่ฟังก์ชันลงในสูตรการแปลงลาปลาซ ตามทฤษฎีแล้ว การแปลง Laplace ของฟังก์ชันนั้นคำนวณได้ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชัน ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, ที่ไหน ${ displaystyle a}$ เป็นค่าคงที่เชิงซ้อนกับ ${ displaystyle ชื่อตัวดำเนินการ {Re} (s) ชื่อตัวดำเนินการ {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 ประมาณค่าอินทิกรัลโดยใช้วิธีการที่มีอยู่ ในตัวอย่างของเรา การประมาณค่านั้นง่ายมาก และคุณทำได้ด้วยการคำนวณง่ายๆ ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น การรวมตามส่วนต่างๆ หรือการแยกความแตกต่างภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล เงื่อนไขข้อจำกัด ${ displaystyle ชื่อตัวดำเนินการ {Re} (s) ชื่อตัวดำเนินการ {Re} (a)}$ หมายความว่าอินทิกรัลมาบรรจบกัน นั่นคือ ค่าของมันมีแนวโน้มเป็น 0 as ${ displaystyle t ถึง infty.}$
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {จัดตำแหน่ง}}}$
   • โปรดทราบว่าสิ่งนี้ทำให้เรามีการแปลง Laplace สองประเภทด้วยไซน์และโคไซน์เนื่องจากตามสูตรของออยเลอร์ ${ displaystyle e ^ {iat}}$... ในกรณีนี้ ในตัวส่วนเราจะได้ ${ displaystyle s-ia,}$ และเหลือเพียงการกำหนดส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่านั้น คุณยังสามารถประเมินผลลัพธ์ได้โดยตรง แต่อาจใช้เวลานานกว่านั้นเล็กน้อย
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = ชื่อตัวดำเนินการ {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + ^ {2}}}}$
3. 3 พิจารณาการแปลง Laplace ของฟังก์ชันกำลัง ขั้นแรก คุณต้องกำหนดการแปลงของฟังก์ชันกำลัง เนื่องจากคุณสมบัติเชิงเส้นช่วยให้คุณค้นหาการแปลงสำหรับ ของทั้งหมด พหุนาม ฟังก์ชันของแบบฟอร์ม ${ displaystyle t ^ {n},}$ ที่ไหน ${ displaystyle n}$ - จำนวนเต็มบวกใดๆ สามารถรวมทีละส่วนเพื่อกำหนดกฎแบบเรียกซ้ำได้
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • ผลลัพธ์นี้แสดงโดยนัย แต่ถ้าคุณแทนที่หลายค่า ${ displaystyle n,}$ คุณสามารถสร้างรูปแบบบางอย่างได้ (ลองทำด้วยตัวเอง) ซึ่งช่วยให้คุณได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • คุณยังสามารถกำหนดการแปลง Laplace ของกำลังเศษส่วนโดยใช้ฟังก์ชันแกมมา ตัวอย่างเช่น ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถค้นหาการแปลงของฟังก์ชันเช่น ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • แม้ว่าฟังก์ชันที่มีกำลังเศษส่วนจะต้องมีการตัด (จำไว้ว่าจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ${ displaystyle z}$ และ ${ displaystyle alpha}$ สามารถเขียนเป็น ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, เพราะว่า ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {บันทึก} z}}$) สามารถกำหนดได้เสมอในลักษณะที่รอยตัดอยู่ในระนาบครึ่งด้านซ้าย และหลีกเลี่ยงปัญหาด้านการวิเคราะห์

ส่วนที่ 2 จาก 3: คุณสมบัติของการแปลงลาปลาซ

1. 1 ให้เราหาการแปลง Laplace ของฟังก์ชันคูณด้วย อีNSNS{ displaystyle e ^ {at}}. ผลลัพธ์ที่ได้ในส่วนก่อนหน้านี้ทำให้เราสามารถค้นหาคุณสมบัติที่น่าสนใจของการแปลง Laplace ได้ การแปลงฟังก์ชัน Laplace เช่น ฟังก์ชันโคไซน์ ไซน์ และเลขชี้กำลังดูเหมือนจะง่ายกว่าการแปลงฟังก์ชันกำลัง คูณด้วย ${ displaystyle e ^ {at}}$ ใน t-region สอดคล้องกับ กะ ใน s-ภูมิภาค:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณค้นหาการแปลงของฟังก์ชันได้ทันที เช่น ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$โดยไม่ต้องคำนวณอินทิกรัล:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 ให้เราหาการแปลง Laplace ของฟังก์ชันคูณด้วย NSNS{ displaystyle t ^ {n}}. ขั้นแรกให้พิจารณาการคูณด้วย ${ displaystyle t}$... ตามคำจำกัดความ เราสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชันภายใต้อินทิกรัลและได้ผลลัพธ์ที่ง่ายอย่างน่าประหลาดใจ:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { บางส่วน} { บางส่วน s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • ทำซ้ำการดำเนินการนี้ เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • แม้ว่าการจัดเรียงตัวดำเนินการของการผสานรวมและการสร้างความแตกต่างใหม่นั้นจำเป็นต้องมีเหตุผลเพิ่มเติม แต่เราจะไม่นำเสนอที่นี่ แต่ให้สังเกตว่าการดำเนินการนี้ถูกต้องหากผลลัพธ์สุดท้ายสมเหตุสมผล คุณยังสามารถคำนึงถึงความจริงที่ว่าตัวแปร ${ displaystyle s}$ และ ${ displaystyle t}$ อย่าพึ่งพาซึ่งกันและกัน
   • การใช้กฎนี้ทำให้ง่ายต่อการค้นหาการแปลงของฟังก์ชันเช่น ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, โดยไม่มีการรวมใหม่ตามส่วนต่างๆ:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 ค้นหาการแปลง Laplace ของฟังก์ชัน NS(NSNS){ displaystyle f (ที่)}. สามารถทำได้ง่าย ๆ โดยการแทนที่ตัวแปรด้วย u โดยใช้คำจำกัดความของการแปลง:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = ที่ & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • ด้านบน เราพบการแปลงฟังก์ชัน Laplace ${ displaystyle sin at}$ และ ${ displaystyle cos ที่}$ จากฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตรง เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ คุณจะได้ผลลัพธ์แบบเดียวกัน หากคุณพบส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 หาการแปลงลาปลาซของอนุพันธ์ NS′(NS){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. ต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้ ต้อง รวมทีละชิ้น:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} ใหญ่ _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเกิดขึ้นในปัญหาทางกายภาพจำนวนมาก เราจึงพบการแปลง Laplace สำหรับมันเช่นกัน:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • ในกรณีทั่วไป การแปลง Laplace ของอนุพันธ์อันดับที่ n ถูกกำหนดดังนี้ (ซึ่งจะช่วยให้แก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้โดยใช้การแปลง Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} ฉ ^ {(k)} (0)}$

ตอนที่ 3 จาก 3: ค้นหา Laplace Transform โดยการขยายซีรีส์

1. 1 ให้เราหาการแปลง Laplace สำหรับฟังก์ชันคาบ ฟังก์ชันคาบเป็นไปตามเงื่อนไข ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ ที่ไหน ${ displaystyle T}$ คือคาบของฟังก์ชัน และ ${ displaystyle n}$ เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันตามระยะมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในหลาย ๆ แอปพลิเคชัน รวมถึงการประมวลผลสัญญาณและวิศวกรรมไฟฟ้า โดยใช้การแปลงอย่างง่าย เราได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ชิด}}}$
   • อย่างที่คุณเห็น ในกรณีของฟังก์ชันคาบ การแปลง Laplace เป็นเวลาหนึ่งคาบก็เพียงพอแล้ว
2. 2 ทำการแปลงลาปลาซสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ ในกรณีนี้ อินทิกรัลไม่สามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ การใช้ฟังก์ชันแกมมาและการขยายอนุกรมทำให้คุณสามารถประมาณลอการิทึมธรรมชาติและองศาได้ การมีอยู่ของค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชอโรนี ${ displaystyle แกมมา}$ แสดงว่าในการประมาณค่าอินทิกรัลนี้ จำเป็นต้องใช้การขยายอนุกรม
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 พิจารณาการแปลงลาปลาซของฟังก์ชันซิงก์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน การทำงาน ${ displaystyle ชื่อตัวดำเนินการ {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการประมวลผลสัญญาณ ในสมการเชิงอนุพันธ์จะเทียบเท่ากับฟังก์ชันเบสเซลทรงกลมของประเภทที่หนึ่งและลำดับศูนย์ ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ การแปลง Laplace ของฟังก์ชันนี้ไม่สามารถคำนวณด้วยวิธีมาตรฐานได้เช่นกัน ในกรณีนี้ การเปลี่ยนแปลงของสมาชิกแต่ละชุดในอนุกรม ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลัง ดังนั้นการแปลงจึงจำเป็นต้องมาบรรจบกันในช่วงเวลาที่กำหนด
   • ขั้นแรก เราเขียนการขยายตัวของฟังก์ชันในอนุกรมเทย์เลอร์:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • ตอนนี้เราใช้การแปลง Laplace ที่รู้จักแล้วของฟังก์ชันกำลัง แฟกทอเรียลถูกยกเลิก และด้วยเหตุนี้ เราจึงได้การขยายตัวของเทย์เลอร์สำหรับอาร์กแทนเจนต์ นั่นคือ อนุกรมสลับกันที่คล้ายกับอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับไซน์ แต่ไม่มีแฟกทอเรียล:
     • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = ตาล ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$