เนื้อหา

• ขั้นตอน
• วิธีที่ 1 จาก 3: วิธีแก้สมการลูกบาศก์โดยไม่มีเทอมคงที่
• วิธีที่ 2 จาก 3: วิธีค้นหารากทั้งหมดโดยใช้ตัวคูณ
• วิธีที่ 3 จาก 3: วิธีแก้สมการโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

ในสมการกำลังสามเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 3 สมการดังกล่าวมี 3 ราก (คำตอบ) และมีรูปแบบ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... สมการกำลังสามบางสมการนั้นแก้ได้ไม่ง่ายนัก แต่ถ้าคุณใช้วิธีที่ถูกต้อง (โดยมีพื้นฐานทางทฤษฎีที่ดี) คุณสามารถหารากของสมการกำลังสามที่ซับซ้อนที่สุดได้ - สำหรับวิธีนี้ ให้ใช้สูตรในการแก้สมการกำลังสอง หา รากทั้งหมดหรือคำนวณการเลือกปฏิบัติ

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: วิธีแก้สมการลูกบาศก์โดยไม่มีเทอมคงที่

1. 1 หาว่ามีพจน์ว่างในสมการกำลังสามหรือไม่ NS{ displaystyle d}. สมการลูกบาศก์มีรูปแบบ ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... สำหรับสมการที่จะพิจารณาเป็นลูกบาศก์ก็เพียงพอแล้วเพียงเทอม ${ displaystyle x ^ {3}}$ (นั่นคืออาจไม่มีสมาชิกอื่นเลย)
   • ถ้าสมการมีเทอมว่าง ${ displaystyle d}$ใช้วิธีอื่น
   • ถ้าอยู่ในสมการ ${ displaystyle a = 0}$มันไม่ใช่ลูกบาศก์
2. 2 นำออกจากวงเล็บ NS{ displaystyle x}. เนื่องจากไม่มีเทอมอิสระในสมการ แต่ละเทอมในสมการจึงมีตัวแปร ${ displaystyle x}$... แปลว่า หนึ่ง ${ displaystyle x}$ สามารถแยกออกจากวงเล็บเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้นได้ ดังนั้นสมการจะถูกเขียนดังนี้: ${ displaystyle x (ขวาน ^ {2} + bx + c)}$.
   • ตัวอย่างเช่น ให้สมการลูกบาศก์ ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • เอาออก ${ displaystyle x}$ วงเล็บและรับ ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 ตัวประกอบ (ผลคูณของทวินามสองตัว) สมการกำลังสอง (ถ้าเป็นไปได้) สมการกำลังสองจำนวนมากของรูปแบบ ${ displaystyle ขวาน ^ {2} + bx + c = 0}$ สามารถแยกตัวประกอบได้ สมการดังกล่าวจะออกมาถ้าเราเอาออก ${ displaystyle x}$ นอกวงเล็บ ในตัวอย่างของเรา:
   • นำออกจากวงเล็บ ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • แยกตัวประกอบสมการกำลังสอง: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • เท่ากับถังขยะแต่ละถังเท่ากับ ${ displaystyle 0}$... รากของสมการนี้คือ ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 แก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรพิเศษ ทำเช่นนี้หากสมการกำลังสองแยกตัวประกอบไม่ได้ การหารากที่สองของสมการคือค่าสัมประสิทธิ์ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ แทนที่ในสูตร ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • ในตัวอย่างของเรา แทนที่ค่าของสัมประสิทธิ์ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) ลงในสูตร:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • รากแรก:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • รากที่สอง:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 ใช้รากศูนย์และรากกำลังสองเป็นคำตอบของสมการกำลังสาม สมการกำลังสองมีสองราก ในขณะที่ลูกบาศก์มีสามราก คุณพบคำตอบสองข้อแล้ว - นี่คือรากของสมการกำลังสอง หากคุณใส่ "x" นอกวงเล็บ คำตอบที่สามจะเป็น ${ displaystyle 0}$.
   • ถ้าคุณเอา "x" ออกจากวงเล็บ คุณจะได้ ${ displaystyle x (ขวาน ^ {2} + bx + c) = 0}$นั่นคือ สองปัจจัย: ${ displaystyle x}$ และสมการกำลังสองในวงเล็บ หากปัจจัยเหล่านี้คือ ${ displaystyle 0}$, สมการทั้งหมดก็เท่ากับ ${ displaystyle 0}$.
   • ดังนั้น สองรากของสมการกำลังสองจึงเป็นคำตอบของสมการลูกบาศก์ ทางออกที่สามคือ ${ displaystyle x = 0}$.

วิธีที่ 2 จาก 3: วิธีค้นหารากทั้งหมดโดยใช้ตัวคูณ

1. 1 ให้แน่ใจว่ามีพจน์ว่างในสมการกำลังสาม NS{ displaystyle d}. ถ้าอยู่ในสมการของรูป ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ มีสมาชิกฟรี ${ displaystyle d}$ (ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์) จะไม่สามารถใส่ "x" นอกวงเล็บได้ ในกรณีนี้ ให้ใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในส่วนนี้
   • ตัวอย่างเช่น ให้สมการลูกบาศก์ ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... เพื่อให้ได้ศูนย์ทางด้านขวาของสมการ ให้เติม ${ displaystyle 6}$ ทั้งสองข้างของสมการ
   • สมการจะออกมา ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... เนื่องจาก ${ displaystyle d = 6}$ไม่สามารถใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในส่วนแรกได้
2. 2 เขียนปัจจัยของสัมประสิทธิ์ NS{ displaystyle a} และสมาชิกฟรี NS{ displaystyle d}. นั่นคือ หาตัวประกอบของจำนวนที่ ${ displaystyle x ^ {3}}$ และตัวเลขก่อนเครื่องหมายเท่ากับ จำไว้ว่าตัวประกอบของตัวเลขคือจำนวนที่เมื่อคูณแล้วจะได้ตัวเลขนั้น
   • ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ตัวเลข 6, คุณต้องคูณ ${ displaystyle 6 ครั้ง 1}$ และ ${ displaystyle 2 ครั้ง 3}$... ดังนั้นตัวเลข 1, 2, 3, 6 เป็นตัวประกอบของจำนวน 6.
   • ในสมการของเรา ${ displaystyle a = 2}$ และ ${ displaystyle d = 6}$... ตัวคูณ 2 เป็น 1 และ 2... ตัวคูณ 6 เป็นตัวเลข 1, 2, 3 และ 6.
3. 3 หารแต่ละปัจจัย NS{ displaystyle a} สำหรับแต่ละปัจจัย NS{ displaystyle d}. เป็นผลให้คุณได้เศษส่วนจำนวนมากและจำนวนเต็มหลายจำนวน รากของสมการกำลังสามจะเป็นจำนวนเต็มหรือค่าลบของจำนวนเต็มตัวใดตัวหนึ่ง
   • ในตัวอย่างของเรา แบ่งตัวประกอบ ${ displaystyle a}$ (1 และ 2) ตามปัจจัย ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 และ 6). คุณจะได้รับ: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ และ ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... ตอนนี้เพิ่มค่าลบของเศษส่วนและตัวเลขที่ได้รับลงในรายการนี้: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ และ ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... รากทั้งหมดของสมการกำลังสามคือตัวเลขบางส่วนจากรายการนี้
4. 4 แทนจำนวนเต็มลงในสมการกำลังสาม หากความเท่าเทียมกันเป็นจริง จำนวนที่แทนที่จะเป็นรากของสมการ ตัวอย่างเช่น แทนที่ในสมการ ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0 นั่นคือไม่สังเกตความเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้ ให้เสียบหมายเลขถัดไป
   • ทดแทน ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. ดังนั้น ${ displaystyle -1}$ คือรากทั้งหมดของสมการ
5. 5 ใช้วิธีการหารพหุนามด้วย แผนของฮอร์เนอร์เพื่อหารากของสมการได้เร็วขึ้น ทำเช่นนี้หากคุณไม่ต้องการแทนที่ตัวเลขในสมการด้วยตนเอง ในรูปแบบของ Horner จำนวนเต็มจะถูกหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ และ ${ displaystyle d}$... หากจำนวนนั้นหารลงตัว (นั่นคือ เศษคือ ${ displaystyle 0}$) จำนวนเต็มคือรากของสมการ
   • โครงร่างของ Horner สมควรได้รับบทความแยกต่างหาก แต่ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการคำนวณรากหนึ่งของสมการกำลังสามโดยใช้รูปแบบนี้:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • ที่เหลือก็คือ ${ displaystyle 0}$, แต่ ${ displaystyle -1}$ เป็นหนึ่งในรากของสมการ

วิธีที่ 3 จาก 3: วิธีแก้สมการโดยใช้การเลือกปฏิบัติ

1. 1 เขียนค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ NS{ displaystyle a}, NS{ displaystyle b}, ค{ displaystyle c} และ NS{ displaystyle d}. เราขอแนะนำให้คุณจดค่าสัมประสิทธิ์ที่ระบุไว้ล่วงหน้าเพื่อไม่ให้สับสนในอนาคต
   • ตัวอย่างเช่น ให้สมการ ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... เขียนลงไป ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ และ ${ displaystyle d = -1}$... จำได้ว่าถ้าก่อนหน้านี้ ${ displaystyle x}$ ไม่มีจำนวน สัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันยังคงมีอยู่และเท่ากับ ${ displaystyle 1}$.
2. 2 คำนวณการเลือกปฏิบัติที่เป็นศูนย์โดยใช้สูตรพิเศษ ในการแก้สมการลูกบาศก์โดยใช้ตัวจำแนก คุณต้องทำการคำนวณที่ยากหลายอย่าง แต่ถ้าคุณทำตามขั้นตอนทั้งหมดอย่างถูกต้อง วิธีนี้จะกลายเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้สำหรับการแก้สมการกำลังสามที่ซับซ้อนที่สุด คำนวณครั้งแรก ${ displaystyle เดลต้า _ {0}}$ (zero discriminant) คือค่าแรกที่เราต้องการ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทนค่าที่สอดคล้องกันในสูตร ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • discriminant คือตัวเลขที่ระบุลักษณะของรากของพหุนาม (เช่น discriminant ของสมการกำลังสองคำนวณโดยสูตร ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • ในสมการของเรา:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 คำนวณ discriminant ตัวแรกโดยใช้สูตร Δ1=2NS3−9NSNSค+27NS2NS{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. การเลือกปฏิบัติครั้งแรก ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - นี่คือค่าสำคัญที่สอง ในการคำนวณให้เสียบค่าที่เกี่ยวข้องลงในสูตรที่ระบุ
   • ในสมการของเรา:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 คำนวณ:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... นั่นคือ หาดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสามผ่านค่าที่ได้ ${ displaystyle เดลต้า _ {0}}$ และ ${ displaystyle Delta _ {1}}$... ถ้าดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสามเป็นบวก สมการนั้นมีรากสามราก ถ้า discriminant เป็นศูนย์ สมการจะมีรากหนึ่งหรือสองราก ถ้า discriminant เป็นลบ สมการจะมีรากเดียว
   • สมการกำลังสามมีอย่างน้อยหนึ่งรูทเสมอ เนื่องจากกราฟของสมการนี้ตัดกับแกน X อย่างน้อยหนึ่งจุด
   • ในสมการของเรา ${ displaystyle เดลต้า _ {0}}$ และ ${ displaystyle Delta _ {1}}$ เท่าเทียมกัน ${ displaystyle 0}$เพื่อให้คุณสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย ${ displaystyle เดลต้า}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = เดลต้า}$... ดังนั้น สมการของเราจึงมีรากหนึ่งหรือสองราก

5. 5 คำนวณ:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } ขวา) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - นี่คือปริมาณสำคัญสุดท้ายที่จะพบ มันจะช่วยคุณคำนวณรากของสมการ แทนค่าลงในสูตรที่กำหนด ${ displaystyle Delta _ {1}}$ และ ${ displaystyle เดลต้า _ {0}}$.
   • ในสมการของเรา:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 หารากของสมการสามราก ลงมือทำตามสูตร ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, ที่ไหน ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, แต่ NS เท่ากับ 1, 2 หรือ 3... แทนที่ค่าที่เหมาะสมลงในสูตรนี้ - ดังนั้นคุณจะได้รากสามรากของสมการ
   • คำนวณค่าโดยใช้สูตรที่ NS = 1, 2 หรือ 3แล้วตรวจคำตอบ หากคุณได้ 0 เมื่อคุณตรวจสอบคำตอบ ค่านี้คือรากของสมการ
   • ในตัวอย่างของเรา แทนที่ 1 ใน ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ และรับ 0, เช่น 1 เป็นหนึ่งในรากของสมการ