เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• ส่วนที่ 1 จาก 3: พื้นฐานของการวิเคราะห์
• ส่วนที่ 2 ของ 3: ทำความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์
• ส่วนที่ 3 ของ 3: ทำความเข้าใจปริพันธ์
• เคล็ดลับ

การวิเคราะห์ (เรียกอีกอย่างว่าแคลคูลัส) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่มุ่งเน้นไปที่ลิมิตฟังก์ชันอนุพันธ์ปริพันธ์และอนุกรมอนันต์ วิชานี้ครอบคลุมวิชาคณิตศาสตร์มากมายและมีพื้นฐานเกี่ยวกับสูตรและสมการต่างๆที่ใช้ในฟิสิกส์และกลศาสตร์ คุณอาจจะต้องเรียนคณิตศาสตร์หลายปีในโรงเรียนมัธยมเพื่อที่จะเข้าใจการวิเคราะห์อย่างถูกต้อง แต่บทความนี้จะช่วยให้คุณเริ่มเรียนรู้ที่จะรับรู้แนวคิดหลักรวมถึงความเข้าใจทฤษฎีที่ดีขึ้น

ที่จะก้าว

ส่วนที่ 1 จาก 3: พื้นฐานของการวิเคราะห์

1. การวิเคราะห์คือการศึกษาว่าสิ่งต่างๆเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร การวิเคราะห์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ตรวจสอบตัวเลขและกราฟโดยปกติจะนำมาจากข้อมูลในโลกแห่งความเป็นจริงและอธิบายถึงการเปลี่ยนแปลง แม้ว่าในตอนแรกอาจดูเหมือนไม่มีประโยชน์มากนัก แต่การวิเคราะห์เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้กันมากที่สุด ลองนึกภาพว่ามีเครื่องมือที่จะบอกคุณได้ว่าธุรกิจของคุณเติบโตเร็วเพียงใดในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งหรือจะสร้างแผนภูมิเส้นทางของยานอวกาศได้อย่างไรและเชื้อเพลิงของมันถูกใช้ไปเร็วเพียงใด การวิเคราะห์เป็นเครื่องมือสำคัญในวิศวกรรมเศรษฐศาสตร์สถิติเคมีและฟิสิกส์และมีส่วนในการคิดค้นและการค้นพบมากมาย
2. ฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขสองตัวและใช้สำหรับการแม็ปความสัมพันธ์ เป็นกฎสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและนักคณิตศาสตร์ใช้ในการสร้างกราฟ ในฟังก์ชันแต่ละอินพุตมีผลลัพธ์เดียว ตัวอย่างเช่น: ใน ${ displaystyle y = 2x + 4,}$ลองนึกถึงแนวคิดของอินฟินิตี้ อินฟินิตี้คือการทำซ้ำอย่างต่อเนื่องของกระบวนการ ไม่ใช่สถานที่เฉพาะ (คุณไม่สามารถไปที่อินฟินิตี้ได้) แต่เป็นพฤติกรรมของตัวเลขหรือสมการหากทำตลอดไป นี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการศึกษาการเปลี่ยนแปลง: คุณอาจต้องการทราบว่ารถของคุณเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ แต่รถของคุณเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนในช่วงวินาทีปัจจุบัน? มิลลิวินาที? นาโนวินาที? คุณสามารถค้นหาช่วงเวลาที่เล็กลงได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้แม่นยำยิ่งขึ้นและนั่นคือเวลาที่มีการวิเคราะห์เข้ามา
3. เข้าใจแนวคิดของขีด จำกัด ขีด จำกัด บอกคุณว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อบางสิ่งเข้าใกล้อินฟินิตี้ นำหมายเลข 1 มาหารด้วย 2 หารด้วย 2 ซ้ำไปซ้ำมา 1 จะกลายเป็น 1/2 แล้วก็ 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 เป็นต้นทุกครั้งที่ตัวเลขมีขนาดเล็กลงเรื่อย ๆ "ใกล้" ศูนย์มากขึ้น แต่ที่ไม่หยุด? คุณต้องหาร 1 ด้วย 2 กี่ครั้งจึงจะได้ศูนย์? แทนที่จะตอบคำถามนี้ในการวิเคราะห์คุณตั้งคำถาม ขีด จำกัด ในกรณีนี้ขีด จำกัด คือ
   • ขีด จำกัด เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการมองเห็นภาพในกราฟตัวอย่างเช่นมีจุดที่กราฟเกือบแตะ แต่ไม่เคยเกิดขึ้นเลยใช่หรือไม่
   • ขีด จำกัด อาจเป็นตัวเลขไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่ก็ได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อมีลำดับการเพิ่ม 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... และสิ่งนี้จะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ จำนวนสุดท้ายจะมีขนาดใหญ่ไม่สิ้นสุด ขีด จำกัด จะกลายเป็นไม่มีที่สิ้นสุด
4. ทบทวนแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของพีชคณิตตรีโกณมิติและพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่คุณเคยเรียนรู้มาก่อน การได้รับข้อมูลอย่างดีเกี่ยวกับหัวข้อทั้งหมดทำให้ง่ายต่อการเรียนรู้และทำความเข้าใจการวิเคราะห์ บางหัวข้อที่จะสรุป ได้แก่ :
   • พีชคณิต. คุณต้องเข้าใจกระบวนการต่างๆและสามารถแก้สมการและระบบสมการที่มีตัวแปรหลายตัวได้ ทำความเข้าใจพื้นฐานของคอลเลกชัน ฝึกทำกราฟ
   • เรขาคณิต. เรขาคณิตคือการศึกษารูปทรง คุณควรมีความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและวงกลมและวิธีคำนวณสิ่งต่างๆเช่นเส้นรอบวงและพื้นที่ ทำความเข้าใจเกี่ยวกับมุมเส้นและพิกัด
   • ตรีโกณมิติ. ตรีโกณมิติเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของวงกลมและสามเหลี่ยมมุมฉาก รู้วิธีใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติกราฟฟังก์ชันและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
5. ซื้อเครื่องคำนวณกราฟ. การวิเคราะห์ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเข้าใจโดยไม่ต้องดูว่าคุณกำลังทำอะไรอยู่ เครื่องคิดเลขกราฟทำให้ฟังก์ชันเป็นภาพเพื่อให้คุณเข้าใจได้ดีขึ้นว่าคุณกำลังจัดการกับสมการใด บ่อยครั้งที่ขีด จำกัด จะปรากฏบนหน้าจอและอนุพันธ์และฟังก์ชันจะถูกคำนวณโดยอัตโนมัติ
   • สมาร์ทโฟนและแท็บเล็ตจำนวนมากในปัจจุบันมีแอพกราฟราคาไม่แพง แต่มีประสิทธิภาพหากคุณไม่ต้องการหรือไม่สามารถซื้อเครื่องคิดเลขกราฟได้

ส่วนที่ 2 ของ 3: ทำความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์

1. การวิเคราะห์ใช้เพื่อศึกษา "การเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ " การรู้ว่าเหตุใดจึงมีการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาที่แน่นอนจึงเป็นหัวใจหลักของการวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นการวิเคราะห์ไม่เพียง แต่ให้ความเร็วของรถยนต์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ ด้วย นี่เป็นการใช้การวิเคราะห์ที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง แต่สำคัญมาก ลองนึกภาพว่าข้อมูลดังกล่าวมีความสำคัญเพียงใดในการกำหนดความเร็วในการขึ้นยานอวกาศไปดวงจันทร์!
   • การกำหนดการเปลี่ยนแปลง ณ เวลาใดเวลาหนึ่งมี แยกความแตกต่าง. การสร้างความแตกต่างเป็นครั้งแรกในสองสาขาหลักของการวิเคราะห์
2. ใช้อนุพันธ์เพื่อทำความเข้าใจว่าสิ่งต่างๆเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ "อนุพันธ์" เป็นคำที่ดีสำหรับบางสิ่งที่มักทำให้นักเรียนกังวลใจ อย่างไรก็ตามแนวคิดนั้นไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจ แต่หมายถึง "การเปลี่ยนแปลงบางอย่างเร็วเพียงใด" อนุพันธ์ที่คุณจะพบมากที่สุดในชีวิตประจำวันเกี่ยวข้องกับความเร็ว อย่างไรก็ตามคุณมักไม่เรียกมันว่า "อนุพันธ์ของความเร็ว" แต่เป็นเพียง "ความเร่ง"
   • ความเร่งเป็นอนุพันธ์ซึ่งจะบอกให้คุณทราบว่าบางสิ่งบางอย่างกำลังเร่งหรือชะลอตัวเร็วแค่ไหนหรือความเร็วของมันเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร
3. รู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเท่ากับความชันระหว่างจุดสองจุด นี่เป็นการค้นพบการวิเคราะห์ที่สำคัญที่สุดครั้งหนึ่ง อัตราการเปลี่ยนแปลงระหว่างจุดสองจุดจะเท่ากับความชันของเส้นระหว่างสองจุดนั้น แค่คิดว่าเส้นง่ายๆเช่นสมการ ${ displaystyle y = 3x.}$รู้ว่าคุณสามารถกำหนดความชันของเส้นโค้งได้ การกำหนดความชันของเส้นตรงนั้นค่อนข้างง่าย: มีการเปลี่ยนแปลงมากแค่ไหน ${ displaystyle y}$หากคุณต้องการคำนวณการเปลี่ยนแปลงให้แม่นยำยิ่งขึ้นตรวจสอบให้แน่ใจว่าคะแนนอยู่ใกล้กันมากขึ้น ยิ่งคุณเลือกสองประเด็นนี้มากเท่าไหร่คำตอบของคุณก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น สมมติว่าคุณต้องการทราบว่ารถของคุณเร่งความเร็วเท่าใดเมื่อคุณกดคันเร่ง คุณไม่ต้องการวัดการเปลี่ยนแปลงของความเร็วระหว่างบ้านของคุณและซูเปอร์มาร์เก็ต แต่การเปลี่ยนแปลงของความเร็วตั้งแต่วินาทีที่คุณเหยียบคันเร่ง ยิ่งการอ่านของคุณเข้าใกล้เสี้ยววินาทีมากเท่าไหร่การคำนวณการเปลี่ยนแปลงของคุณก็จะแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น
   • ตัวอย่างเช่นนักวิทยาศาสตร์กำลังตรวจสอบว่าสิ่งมีชีวิตบางชนิดสูญพันธุ์ไปเร็วเพียงใดเพื่อช่วยชีวิตพวกมัน อย่างไรก็ตามมีสัตว์จำนวนมากตายในฤดูหนาวมากกว่าในฤดูร้อนดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่จะศึกษาอัตราการเปลี่ยนแปลงตลอดทั้งปีจึงเป็นการดีกว่าที่จะกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงภายในช่วงเวลาที่น้อยกว่าเช่น 1 กรกฎาคมถึง 1 สิงหาคม
4. ใช้เส้นสั้น ๆ ไม่ จำกัด เพื่อกำหนด "อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที" หรือค้นหาอนุพันธ์ นี่คือที่ที่การวิเคราะห์มักจะสับสนเล็กน้อย แต่นี่เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงง่ายๆสองประการ ก่อนอื่นคุณต้องรู้ว่าความชันของเส้นเท่ากับความเร็วของเส้นนั้นเปลี่ยนแปลงไป ประการที่สองคุณรู้ว่ายิ่งจุดของเส้นอยู่ใกล้กันมากเท่าไหร่การอ่านก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น แต่คุณจะพบอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดใดจุดหนึ่งได้อย่างไรถ้าความชันเป็นความสัมพันธ์ระหว่างจุดสองจุด? คำตอบ: คุณเลือกจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด.
   • ลองพิจารณาตัวอย่างที่คุณหาร 1 ด้วย 2 ไปเรื่อย ๆ จึงได้ 1/2, 1/4, 1/8 เป็นต้น ในที่สุดคุณก็เข้าใกล้ศูนย์และคำตอบคือ "เกือบเป็นศูนย์" แต้มใกล้กันมากจน "เกือบเท่ากัน" นี่คือลักษณะของตราสารอนุพันธ์
5. เรียนรู้วิธีการกำหนดอนุพันธ์ต่างๆ มีเทคนิคที่แตกต่างกันมากมายในการหาอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับสมการ แต่ส่วนใหญ่มีเหตุผลหากคุณจดจำพื้นฐานของอนุพันธ์ข้างต้น อนุพันธ์ทั้งหมดเป็นวิธีหาความชันของเส้น "น้อยที่สุด" ตอนนี้คุณรู้มากขึ้นเกี่ยวกับทฤษฎีอนุพันธ์แล้วงานส่วนใหญ่อยู่ในการค้นหาคำตอบ
6. ค้นหาสมการที่ได้มาเพื่อทำนายอัตราการเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา การใช้อนุพันธ์เพื่อกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ มีประโยชน์ แต่ความสวยงามของการวิเคราะห์คือคุณสามารถสร้างโมเดลใหม่สำหรับฟังก์ชันใดก็ได้ อนุพันธ์ของ ${ displaystyle y = x ^ {2},}$หากคุณพบว่าสิ่งนี้เข้าใจยากให้พยายามจำตัวอย่างในชีวิตจริงของอนุพันธ์ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือขึ้นอยู่กับความเร็วซึ่งครอบคลุมอนุพันธ์ต่างๆมากมายที่เราพบในทุกๆวัน อย่าลืม: อนุพันธ์คือการวัดว่าบางสิ่งเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใด. ลองนึกถึงการทดลองง่ายๆ คุณกลิ้งหินอ่อนบนโต๊ะและวัดว่ามันเคลื่อนที่ไปได้ไกลแค่ไหนและแต่ละครั้งเร็วแค่ไหน ทีนี้ลองนึกภาพว่าหินอ่อนกลิ้งเป็นไปตามเส้นบนกราฟ - คุณกำลังใช้อนุพันธ์เพื่อวัดการเปลี่ยนแปลงทันทีเมื่อใดก็ได้บนเส้นนั้น
   • หินอ่อนเคลื่อนที่เร็วแค่ไหน? ตำแหน่ง (หรืออนุพันธ์) ของหินอ่อนเคลื่อนที่เปลี่ยนไปด้วยความเร็วเท่าใด เราเรียกอนุพันธ์นี้ว่า "ความเร็ว"
   • กลิ้งหินอ่อนไปตามทางลาดชันและสังเกตว่าความเร็วเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร อัตราการเปลี่ยนแปลงหรืออนุพันธ์ของความเร็วของหินอ่อนคืออะไร? อนุพันธ์นี้เรียกว่า "ความเร่ง"
   • กลิ้งหินอ่อนไปตามทางหยักเช่นรถไฟเหาะ หินอ่อนได้รับความเร็วในระดับใดเมื่อกลิ้งลงมาและหินอ่อนชะลอตัวลงเนินได้ในระดับใด? หินอ่อนไปเร็วแค่ไหนเมื่อมันขึ้นไปครึ่งทางบนเนินแรก? นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงในทันทีหรืออนุพันธ์ของหินอ่อนที่จุดใดจุดหนึ่ง

ส่วนที่ 3 ของ 3: ทำความเข้าใจปริพันธ์

1. รู้ว่าคุณสามารถใช้การวิเคราะห์เพื่อค้นหาพื้นที่และปริมาตรที่ซับซ้อนได้ ด้วยการวิเคราะห์คุณสามารถวัดรูปทรงที่ซับซ้อนซึ่งยากต่อการวัด ตัวอย่างเช่นพิจารณาปัญหาที่คุณต้องการทราบว่าทะเลสาบที่มีรูปร่างยาวและมีรูปร่างผิดปกติมีปริมาณน้ำเท่าใด - เป็นไปไม่ได้ที่จะวัดน้ำทุกลิตรแยกกันหรือใช้ไม้บรรทัดวัดรูปร่างของทะเลสาบ ด้วยการวิเคราะห์คุณสามารถศึกษาว่าขอบของทะเลสาบมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไรจากนั้นใช้ข้อมูลดังกล่าวเพื่อค้นหาว่ามีน้ำอยู่ในปริมาณเท่าใด
   • การสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตและการศึกษาปริมาตร บูรณาการ. แคลคูลัสแบบบูรณาการเป็นสาขาการวิเคราะห์ที่สำคัญอันดับสอง
2. ทราบว่าการรวมเป็นพื้นที่ด้านล่างของกราฟ การรวมใช้เพื่อวัดพื้นที่ใต้เส้นซึ่งช่วยให้คุณกำหนดพื้นที่ของรูปทรงที่แปลกหรือผิดปกติได้ ใช้สมการ ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$รู้ว่าคุณต้องเลือกพื้นที่ที่จะรวมเข้าด้วยกัน คุณไม่สามารถรวมฟังก์ชันทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ${ displaystyle y = x}$ลองนึกถึงวิธีคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า สมมติว่าคุณมีเส้นเรียบเหนือกราฟเช่น ${ displaystyle y = 4. }$รู้ว่าในแคลคูลัสอินทิกรัลจะมีการเพิ่มรูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กจำนวนมากเข้าด้วยกันเพื่อหาพื้นที่ของพื้นที่ เมื่อคุณขยายเส้นโค้งอย่างมากดูเหมือนว่าจะเป็นเส้นตรง คุณเห็นสิ่งนี้ทุกวัน - คุณไม่สามารถรับรู้ความโค้งของโลกได้เพราะคุณอยู่ใกล้พื้นผิวโลกมาก การบูรณาการจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กจำนวนไม่ จำกัด ภายใต้เส้นโค้งที่มีขนาดเล็กจนแบนโดยทั่วไปทำให้คุณสามารถนับได้ รูปสี่เหลี่ยมทั้งหมดเหล่านี้รวมกันเป็นพื้นที่ของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
   • สมมติว่าคุณรวมกลุ่มเล็ก ๆ จำนวนมากใต้กราฟและนั่นคือความกว้างของแต่ละกลุ่ม เกือบ เป็นศูนย์
3. รู้วิธีอ่านและเขียนอินทิกรัลอย่างถูกต้อง ปริพันธ์ประกอบด้วย 4 ส่วน อินทิกรัลทั่วไปมีลักษณะดังนี้:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการค้นหาปริพันธ์. การบูรณาการมีหลายรูปแบบและคุณต้องเรียนรู้สูตรต่างๆมากมายเพื่อรวมแต่ละฟังก์ชันเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตามทั้งหมดเป็นไปตามหลักการที่ระบุไว้ข้างต้น: การรวมเป็นผลรวมของจำนวนสิ่งที่ไม่สิ้นสุด
   • รวมโดยการแทนที่
   • คำนวณปริพันธ์ไม่แน่นอน
   • บูรณาการโดยการแบ่งปัน
4. รู้ว่าการรวมเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของความแตกต่างและในทางกลับกัน นี่เป็นกฎทั่วไปของการวิเคราะห์ที่มีความสำคัญมากจนได้รับการตั้งชื่อของมันเอง: The Principal Theorem of Integral Calculationเนื่องจากการรวมและความแตกต่างมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดจึงสามารถใช้การรวมกันของทั้งสองเพื่อกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่งความเร็วตำแหน่งการเคลื่อนไหว ฯลฯ ไม่ว่าคุณจะมีข้อมูลใดก็ตาม
   • ตัวอย่างเช่นจำไว้ว่าอนุพันธ์ของความเร็วคือความเร่งดังนั้นคุณสามารถใช้ความเร็วเพื่อค้นหาความเร่งได้ แต่ถ้าคุณรู้แค่ความเร่งของบางสิ่ง (เช่นวัตถุที่ตกลงมาเนื่องจากแรงโน้มถ่วง) คุณก็สามารถรวมเข้าด้วยกันเพื่อฟื้นความเร็วได้!
5. ทราบว่าด้วยการผสานรวมคุณยังสามารถควบคุมระดับเสียงของวัตถุ 3 มิติได้ การหมุนรูปทรงแบนเป็นวิธีหนึ่งในการสร้างของแข็ง 3 มิติ ลองนึกภาพเหรียญที่หมุนอยู่บนโต๊ะ - สังเกตว่าเหรียญดูเหมือนจะมีรูปร่างเป็นทรงกลมเมื่อมันหมุนอย่างไร แนวคิดนี้ช่วยให้คุณกำหนดปริมาตรตามกระบวนการที่เรียกว่า "ปริมาตรตามการหมุน"
   • สิ่งนี้ช่วยให้คุณกำหนดปริมาตรของของแข็งใด ๆ ได้ตราบเท่าที่คุณมีฟังก์ชันที่แสดงถึงมัน ตัวอย่างเช่นคุณสามารถสร้างฟังก์ชันที่ติดตามด้านล่างของทะเลสาบจากนั้นใช้ฟังก์ชันนั้นเพื่อกำหนดปริมาตรของทะเลสาบหรือปริมาณน้ำในทะเลสาบ

เคล็ดลับ

• การฝึกฝนทำให้สมบูรณ์แบบดังนั้นให้ทำแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนแม้กระทั่งสิ่งที่ครูของคุณยังไม่ได้ให้ - และตรวจคำตอบของคุณเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น
• หากคุณไม่พบวิธีแก้ปัญหาให้ถามครูของคุณ