เนื้อหา

• ขั้นตอน
• คำแนะนำ

หากคุณเป็นนักคณิตศาสตร์หรือนักเขียนโปรแกรมกราฟิกคุณอาจต้องหามุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว ในบทความนี้ wikiHow จะแสดงวิธีการทำ

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 ของ 2: หามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

1. 

   นิยามเวกเตอร์ เขียนข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับเวกเตอร์สองตัวที่คุณมี สมมติว่าคุณมีเฉพาะพารามิเตอร์ที่ระบุของพิกัดมิติ (หรือที่เรียกว่าส่วนประกอบ) หากคุณทราบความยาว (ขนาด) ของเวกเตอร์แล้วคุณสามารถข้ามขั้นตอนด้านล่างนี้ได้
   • ตัวอย่าง: เวกเตอร์สองมิติ = (2,2) และเวกเตอร์สองมิติ = (0,3) นอกจากนี้ยังสามารถเขียนเป็น = 2ผม + 2ญ และ = 0ผม + 3ญ = 3ญ.
   • แม้ว่าจะใช้เวกเตอร์สองมิติในตัวอย่างของบทความนี้คำแนะนำต่อไปนี้สามารถใช้ได้กับเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่าใดก็ได้

2. 

   
   
   จดสูตรโคไซน์. ในการหามุมθระหว่างเวกเตอร์สองตัวเราเริ่มต้นด้วยสูตรการหาโคไซน์สำหรับมุมนั้น คุณสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับสูตรนี้ด้านล่างหรือจดไว้ดังนี้:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| หมายถึง "ความยาวของเวกเตอร์"
   • •เป็นผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว - จะอธิบายไว้ด้านล่าง

3. 

   
   
   คำนวณความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ลองนึกภาพสามเหลี่ยมมุมฉากประกอบด้วย x, y ส่วนประกอบของเวกเตอร์และเวกเตอร์เอง เวกเตอร์สร้างด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมดังนั้นในการหาความยาวเราจึงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในความเป็นจริงสูตรนี้สามารถขยายเป็นเวกเตอร์ของมิติข้อมูลจำนวนเท่าใดก็ได้
   • || คุณ || = คุณ₁ + คุณ₂. หากเวกเตอร์มีองค์ประกอบมากกว่าสององค์ประกอบคุณก็ต้องเพิ่ม + u ต่อไป₃ + คุณ₄ +...
   • ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์สองมิติ || คุณ || = √ (คุณ₁ + คุณ₂).
   • ในตัวอย่างนี้ |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   คำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว บางทีคุณอาจได้เรียนรู้วิธีการคูณเวกเตอร์หรือที่เรียกว่า สเกลาร์ นี้. ในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบให้คูณส่วนผสมในแต่ละทิศทางเข้าด้วยกันจากนั้นรวมผลลัพธ์ทั้งหมด
   • สำหรับโปรแกรมกราฟิกโปรดดูคำแนะนำก่อนอ่านเพิ่มเติม
   • ในวิชาคณิตศาสตร์ • = คุณ₁v₁ + คุณ₂v₂, ที่ไหน, u = (u₁, ยู₂). หากเวกเตอร์มีองค์ประกอบมากกว่าสององค์ประกอบให้เพิ่ม + u₃v₃ + คุณ₄v₄...
   • ในตัวอย่างนี้• = u₁v₁ + คุณ₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. นี่คือผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และเวกเตอร์

5. 

   ใส่ผลลัพธ์ในสูตร จำไว้ว่าcosθ = (•) / (|||| || ||) ตอนนี้เรารู้ทั้งผลคูณสเกลาร์และความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ป้อนสิ่งเหล่านี้ลงในสูตรเพื่อคำนวณโคไซน์ของมุม
   • ในตัวอย่างของเราcosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2

6. 

   หามุมตามโคไซน์ คุณสามารถใช้ฟังก์ชัน arccos หรือ cos ในเครื่องคิดเลขเพื่อค้นหาθจากค่า cos ที่ทราบ ด้วยผลลัพธ์บางอย่างคุณอาจพบมุมตามวงกลมหน่วย
   • ในตัวอย่างcosθ = √2 / 2 ป้อน "arccos (√2 ​​/ 2)" ในเครื่องคิดเลขเพื่อหามุม หรือคุณสามารถหามุมθบนวงกลมหน่วยได้ที่ตำแหน่งcosθ = √2 / 2 มันเป็นจริงสำหรับ θ = /₄ หรือ45º.
   • เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันสูตรสุดท้ายคือ: angle θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))
   โฆษณา

ส่วนที่ 2 จาก 2: การกำหนดสูตรมุม

1. 

   ทำความเข้าใจวัตถุประสงค์ของสูตร สูตรนี้ไม่ได้มาจากกฎที่มีอยู่ แต่มันถูกสร้างขึ้นเป็นคำจำกัดความของผลคูณสเกลาร์และมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ถึงกระนั้นก็ไม่ใช่การตัดสินใจโดยพลการ กลับไปที่รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานเราสามารถเข้าใจได้ว่าเหตุใดสูตรนี้จึงให้คำจำกัดความที่ใช้งานง่ายและเป็นประโยชน์
   • ตัวอย่างด้านล่างใช้เวกเตอร์สองมิติเพราะเข้าใจง่ายและง่ายที่สุด เวกเตอร์สามมิติขึ้นไปมีคุณสมบัติที่กำหนดโดยสูตรทั่วไปเกือบจะคล้ายกัน

2. 

   ทบทวนทฤษฎีบทของโคไซน์ พิจารณาสามเหลี่ยมธรรมดาที่มีมุมθระหว่างด้าน a และ b ด้านตรงข้าม c ทฤษฎีบทโคไซน์ระบุว่า c = a + b -2abcos(θ). ผลลัพธ์นี้ดึงมาจากรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐาน

3. 

   เชื่อมต่อเวกเตอร์สองตัวเป็นสามเหลี่ยม วาดเวกเตอร์สองมิติคู่บนกระดาษเวกเตอร์และเวกเตอร์โดยมีθเป็นมุมระหว่างทั้งสอง วาดเวกเตอร์ที่สามระหว่างสองสิ่งนี้เพื่อสร้างสามเหลี่ยม กล่าวอีกนัยหนึ่งวาดเวกเตอร์ในลักษณะที่ + = เวกเตอร์ = -.

4. 

   เขียนทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมนี้ แทนที่ความยาวด้านข้างของ "สามเหลี่ยมเวกเตอร์" ของเราในทฤษฎีบทโคไซน์:
   • || (ก - ข) || = || ก || + || ข || - 2 || ก || || ข ||cos(θ)

5. 

   เขียนใหม่ด้วยผลิตภัณฑ์สเกลาร์ โปรดจำไว้ว่าผลคูณสเกลาร์คือภาพของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่มีตัวมันเองไม่จำเป็นต้องมีการฉายภาพเนื่องจากที่นี่ไม่มีทิศทางที่แตกต่างกัน นั่นหมายความว่า• = || a ||. ด้วยการใช้สิ่งนี้เราเขียนสมการใหม่:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || ก || || ข ||cos(θ)

6. 

   เขียนสูตรเดิมใหม่สำเร็จ ขยายด้านซ้ายของสูตรจากนั้นลดความซับซ้อนเพื่อรับสูตรที่ใช้ในการหามุม
   • • - • - • + • = • + • - 2 || ก || || ข ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || ก || || ข ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || ก || || ข ||cos(θ)
   • • = || ก || || ข ||cos(θ)
   โฆษณา

คำแนะนำ

• หากต้องการเปลี่ยนค่าและแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วให้ใช้สูตรนี้กับเวกเตอร์สองมิติคู่ใดก็ได้: cosθ = (u₁ • v₁ + คุณ₂ • v₂) / (√ (คุณ₁ • ยู₂) •√ (v₁ • v₂)).
• หากคุณกำลังทำงานกับซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์กราฟิกโอกาสที่คุณจะต้องสนใจเกี่ยวกับมิติเวกเตอร์โดยไม่ต้องกังวลเรื่องความยาว ใช้ขั้นตอนต่อไปนี้เพื่อย่อสมการและเร่งโปรแกรมของคุณ:
  • ทำให้เวกเตอร์แต่ละตัวเป็นมาตรฐานเพื่อให้มีค่าเท่ากับ 1 ในการทำเช่นนี้ให้หารส่วนประกอบของเวกเตอร์แต่ละตัวด้วยความยาว
  • รับผลคูณมาตรฐานของสเกลาร์แทนเวกเตอร์เดิม
  • เนื่องจากความยาวคือ 1 เราจึงสามารถแยกองค์ประกอบความยาวออกจากสมการได้ ในที่สุดสมการมุมที่ได้คือ arccos (•)
• จากสูตรโคไซน์เราสามารถระบุได้อย่างรวดเร็วว่ามุมนั้นเป็นมุมแหลมหรือมุมป้าน เริ่มต้นด้วยcosθ = (•) / (|||| ||||):
  • ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน (บวกหรือลบ)
  • เนื่องจากความยาวเป็นค่าบวกเสมอcosθจึงต้องมีเครื่องหมายเดียวกับผลคูณสเกลาร์
  • ดังนั้นถ้าผลิตภัณฑ์เป็นบวกcosθก็เป็นบวกเช่นกัน เราอยู่ในจตุภาคแรกของวงกลมหน่วยโดยมีθ <π / 2 หรือ90º มุมที่หาได้คือมุมแหลม
  • หากผลคูณสเกลาร์เป็นลบcosθจะเป็นลบ เราอยู่ในจตุภาคที่สองของวงกลมหน่วยโดยมีπ / 2 <θ≤πหรือ90º <θ≤180º นั่นคือมุมคุก