เนื้อหา

• ขั้นตอน
• คำแนะนำ
• คำเตือน

การผกผันมักใช้ในแคลคูลัสเพื่อลดความซับซ้อนของปัญหาที่เป็นปัญหาด้วยวิธีอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นการคูณด้วยส่วนผกผันของเศษส่วนนั้นง่ายกว่าการหารด้วยจำนวนนั้นโดยตรง นี่คือค่าผกผัน ในทำนองเดียวกันเนื่องจากไม่มีเครื่องหมายเศษสำหรับเมทริกซ์คุณจะต้องคูณเมทริกซ์ผกผันของมัน การคำนวณเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ 3x3 อาจเป็นเรื่องที่น่าเบื่อมาก แต่ก็เป็นปัญหาที่ควรพิจารณา คุณยังสามารถใช้เครื่องคำนวณกราฟขั้นสูงเพื่อทำสิ่งนี้ได้

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: สร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. 

   ตรวจสอบดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ขั้นตอนแรก: ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็น 0 แสดงว่าเสร็จแล้วเมทริกซ์นี้ไม่สามารถย้อนกลับได้ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ M สามารถแสดงสัญลักษณ์เป็น det (M)
   • ในการหาค่าผกผันของเมทริกซ์ 3x3 อันดับแรกคุณต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์
   • หากต้องการทบทวนวิธีค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์โปรดดูบทความการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ 3x3

2. 

   
   
   การขนย้ายเมทริกซ์ดั้งเดิม การเปลี่ยนตำแหน่งหมายถึงการสะท้อนเมทริกซ์ข้ามเส้นทแยงมุมหลักหรืออีกนัยหนึ่งคือการสลับองค์ประกอบ th (i, j) และองค์ประกอบ (j, i) เมื่อเปลี่ยนองค์ประกอบของเมทริกซ์เส้นทแยงมุมหลัก (วิ่งจากมุมซ้ายบนไปยังมุมขวาล่าง) จะคงที่
   • อีกวิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจการเปลี่ยนตำแหน่งคือคุณจะเขียนเมทริกซ์ใหม่เพื่อให้แถวแรกกลายเป็นคอลัมน์แรกแถวกลางจะกลายเป็นคอลัมน์กลางและแถวที่สามกลายเป็นคอลัมน์ที่สาม สังเกตองค์ประกอบสีในภาพประกอบด้านบนและสังเกตตำแหน่งใหม่ของตัวเลข

3. 

   
   
   ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อย 2x2 แต่ละตัว องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์การกระจัด 3x3 ใหม่เชื่อมโยงกับเมทริกซ์ 'ย่อย' 2x2 ที่สอดคล้องกัน ในการค้นหาเมทริกซ์ย่อยของแต่ละองค์ประกอบอันดับแรกให้ไฮไลต์แถวและคอลัมน์ขององค์ประกอบแรก องค์ประกอบทั้ง 5 จะถูกเน้น องค์ประกอบที่เหลืออีกสี่องค์ประกอบเป็นเมทริกซ์ย่อย
   • ในตัวอย่างข้างต้นหากคุณต้องการค้นหาเมทริกซ์ย่อยขององค์ประกอบในแถวที่สองคอลัมน์ที่หนึ่งคุณจะเน้นส่วนของคำห้าส่วนในแถวที่สองและคอลัมน์แรก สี่องค์ประกอบที่เหลือคือเมทริกซ์ย่อยที่สอดคล้องกัน
   • ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของแต่ละเมทริกซ์ย่อยโดยการคูณในแนวทแยงมุมและลบสองผลิตภัณฑ์ออกจากกันดังแสดงในรูปด้านบน
   • อ่านเพิ่มเติมเพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์ย่อยและการใช้งาน

4. 

   
   
   สร้างเมทริกซ์ของส่วนย่อยเกี่ยวกับพีชคณิต วางผลลัพธ์ที่ได้จากขั้นตอนก่อนหน้าลงในเมทริกซ์ใหม่ที่ประกอบด้วยส่วนย่อยพีชคณิตโดยการวางดีเทอร์มิแนนต์ย่อยเมทริกซ์แต่ละตัวในตำแหน่งที่สอดคล้องกันในเมทริกซ์เดิม ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ที่คำนวณจากองค์ประกอบ (1,1) ของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะถูกวางไว้ที่ตำแหน่ง (1,1) ถัดไปคุณจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายแทนที่ของเมทริกซ์ใหม่นี้ตามตารางอ้างอิงที่แสดงในภาพประกอบด้านบน
   • เมื่อกำหนดเครื่องหมายเครื่องหมายของโมเลกุลแรกของชั้นนำจะถูกเก็บไว้ เครื่องหมายขององค์ประกอบที่สองกลับด้าน สัญลักษณ์ขององค์ประกอบที่สามจะถูกเก็บรักษาไว้ ดำเนินการต่อเช่นนั้นสำหรับส่วนที่เหลือของเมทริกซ์ โปรดทราบว่าเครื่องหมาย (+) หรือ (-) ในแผนภูมิอ้างอิงไม่ได้ระบุว่าองค์ประกอบนั้นจะมีเครื่องหมายบวกหรือลบจนกว่าจะถึงจุดสิ้นสุด พวกเขาแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบจะถูกเก็บไว้เหมือนเดิม (+) หรือเปลี่ยนด้วย (-)
   • อ้างอิงถึงพื้นฐานของเมทริกซ์สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับส่วนต่อท้ายเกี่ยวกับพีชคณิต
   • ผลลัพธ์สุดท้ายที่เราได้รับในขั้นตอนนี้คือเมทริกซ์เสริมของเมทริกซ์ดั้งเดิม บางครั้งเรียกอีกอย่างว่าเมทริกซ์คอนจูเกตและแสดงเป็น Adj (M)

5. 

   หารองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เสริมด้วยดีเทอร์มิแนนต์ ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ M ที่คุณคำนวณในขั้นตอนแรก (เพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์ย้อนกลับได้หรือไม่) ตอนนี้หารทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยค่านี้ ใส่ผลหารของแต่ละส่วนลงในตำแหน่งขององค์ประกอบดั้งเดิมและเราจะได้เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์เดิม
   • เมทริกซ์ตัวอย่างที่นำเสนอในภาพประกอบมีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 1 ดังนั้นเมื่อเราหารทุกองค์ประกอบของเมทริกซ์เสริมด้วยดีเทอร์มิแนนต์เราจะได้ตัวมันเอง (คุณจะไม่โชคดีเสมอไป) .
   • แทนที่จะหารเอกสารบางฉบับแสดงให้เห็นขั้นตอนนี้เป็นการคูณทุกองค์ประกอบของ M ด้วย 1 / det (M) ในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเทียบเท่ากัน
   โฆษณา

วิธีที่ 2 จาก 3: ลดแถวเชิงเส้นเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

1. 

   เพิ่มเมทริกซ์หน่วยลงในเมทริกซ์เดิม เขียนเมทริกซ์ฐาน M ลากเส้นแนวตั้งทางขวาของเมทริกซ์นั้นจากนั้นเขียนเมทริกซ์หน่วยทางขวาของเส้นนี้ ณ จุดนี้เรามีเมทริกซ์ที่มีสามแถวและหกคอลัมน์
   • โปรดจำไว้ว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมทริกซ์พิเศษที่มีองค์ประกอบทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลักโดยวิ่งจากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาเท่ากับ 1 และองค์ประกอบทั้งหมดในตำแหน่งที่เหลือเท่ากับศูนย์

2. 

   ทำการลดแถวเชิงเส้น เป้าหมายคือการสร้างเมทริกซ์หน่วยในส่วนซ้ายของเมทริกซ์ที่ขยายใหม่ เมื่อทำตามขั้นตอนการลดแถวทางด้านซ้ายคุณต้องทำส่วนที่เกี่ยวข้องทางด้านขวา - ส่วนที่เป็นเมทริกซ์หน่วยของคุณ
   • โปรดจำไว้ว่าการลดแถวจะกระทำเป็นการรวมกันของการคูณสเกลาร์และการเพิ่มหรือการลบแถวเพื่อแยกองค์ประกอบแต่ละส่วนของเมทริกซ์

3. 

   ดำเนินการต่อจนกว่าเมทริกซ์หน่วยจะถูกสร้างขึ้น ดำเนินการลดเชิงเส้นต่อไปจนกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์จะปรากฏขึ้น (องค์ประกอบบนเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 องค์ประกอบอื่น ๆ เท่ากับ 0) ในส่วนด้านซ้ายของเมทริกซ์ที่ขยาย เมื่อถึงขั้นตอนนี้ส่วนด้านขวาของตัวแบ่งแนวตั้งคือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ดั้งเดิม

4. 

   เขียนเมทริกซ์ผกผันใหม่ ทำซ้ำองค์ประกอบที่อยู่ทางด้านขวาของตัวแบ่งแนวตั้งและนั่นคือเมทริกซ์ผกผันของคุณ โฆษณา

วิธีที่ 3 จาก 3: ค้นหาเมทริกซ์ผกผันด้วยเครื่องคิดเลขพกพา

1. 

   เลือกเครื่องคิดเลขที่สามารถแก้เมทริกซ์ได้ เครื่องคำนวณสี่ฟังก์ชันธรรมดาจะไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันให้คุณได้โดยตรง อย่างไรก็ตามเนื่องจากการทำซ้ำทางคณิตศาสตร์เครื่องคำนวณกราฟขั้นสูงเช่น Texas Instruments TI-83 หรือ TI-86 สามารถลดงานที่ต้องทำลงได้มาก

2. 

   ใส่เมทริกซ์ลงในเครื่องคิดเลข ขั้นแรกให้เข้าสู่ฟังก์ชัน Matrix ของเครื่องคิดเลขของคุณโดยกดปุ่ม Matrix หากมีอยู่ในอุปกรณ์ของคุณ ด้วยเครื่อง Texas Instruments คุณจะต้องกด 2 Matrix

3. 

   เลือกเมนูย่อยแก้ไข ในการเข้าถึงเมนูย่อยนี้คุณอาจต้องใช้ปุ่มลูกศรหรือเลือกปุ่มฟังก์ชันที่เหมาะสมซึ่งอยู่ในแถวบนของแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการออกแบบ

4. 

   เลือกชื่อสำหรับเมทริกซ์ของคุณ เครื่องคิดเลขแบบพกพาส่วนใหญ่ติดตั้งเพื่อทำงานกับเมทริกซ์ 3 ถึง 10 ตัวอักษรชื่อ A ถึง J โดยปกติเรามาเริ่มกันเลย กดปุ่ม Enter เพื่อยืนยันการเลือกชื่อ

5. 

   ป้อนขนาดเมทริกซ์ บทความนี้มุ่งเน้นไปที่เมทริกซ์ 3x3 อย่างไรก็ตามเครื่องคิดเลขแบบพกพาสามารถจัดการเมทริกซ์ขนาดใหญ่ได้ ป้อนจำนวนแถวกด Enter จากนั้นพิมพ์หมายเลขคอลัมน์แล้วกด Enter

6. 

   ป้อนแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ เมทริกซ์จะแสดงบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ หากคุณเคยทำงานกับฟังก์ชันเมทริกซ์มาก่อนเมทริกซ์ที่คุณเคยใช้งานมาก่อนจะปรากฏบนหน้าจอ เคอร์เซอร์จะทำเครื่องหมายองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์ ป้อนค่าเมทริกซ์ที่คุณต้องการแก้แล้วกด Enter เคอร์เซอร์จะย้ายไปยังองค์ประกอบถัดไปโดยอัตโนมัติโดยเขียนทับค่าก่อนหน้านี้
   • หากคุณต้องการป้อนตัวเลขติดลบให้ใช้ปุ่มลบ (-) ของเครื่องคิดเลขไม่ใช่ปุ่มลบ ฟังก์ชันเมทริกซ์จะอ่านไม่ถูกต้อง
   • หากจำเป็นคุณสามารถใช้ปุ่มลูกศรบนเครื่องคิดเลขเพื่อเลื่อนไปตามเมทริกซ์

7. 

   ออกจากฟังก์ชันเมทริกซ์ หลังจากที่คุณป้อนค่าเมทริกซ์ทั้งหมดแล้วให้กดปุ่ม Quit - Exit (หรือ 2 Quit ถ้าจำเป็น) ด้วยเหตุนี้คุณจึงออกจากฟังก์ชัน Matrix และกลับไปที่หน้าจอแสดงผลหลักของเครื่องคิดเลข

8. 

   ใช้คีย์ผกผันเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน ขั้นแรกให้เปิดฟังก์ชัน Matrix อีกครั้งและใช้ปุ่ม Names เพื่อเลือกชื่อเมทริกซ์ที่คุณใช้ตั้งให้กับเมทริกซ์ของคุณ (อาจเป็น) จากนั้นกดแป้นผกผันของเครื่องคิดเลข คุณอาจต้องใช้ปุ่ม 2 ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับอุปกรณ์ของคุณหน้าจอแสดงผลจะปรากฏขึ้น กด Enter และเมทริกซ์ผกผันจะปรากฏบนหน้าจอของคุณ
   • อย่าใช้ปุ่ม ^ บนคอมพิวเตอร์ของคุณเมื่อพยายามป้อน A ^ -1 ด้วยการคลิกแต่ละครั้ง คอมพิวเตอร์จะไม่เข้าใจคณิตศาสตร์นี้
   • หากคุณได้รับข้อความแสดงข้อผิดพลาดเมื่อคุณกดแป้นผกผันมีแนวโน้มว่าเมทริกซ์หลักของคุณจะไม่สามารถย้อนกลับได้ บางทีคุณควรย้อนกลับไปดูเชิงคุณภาพเพื่อดูว่านั่นเป็นสาเหตุของข้อผิดพลาดหรือไม่

9. 

   แปลงเมทริกซ์ผกผันเป็นคำตอบที่ถูกต้อง ผลลัพธ์แรกที่คอมพิวเตอร์ส่งคืนจะแสดงเป็นทศนิยม นั่นไม่จำเป็นต้องเป็นคำตอบที่ "ถูกต้อง" สำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ คุณควรแปลงคำตอบทศนิยมนี้เป็นเศษส่วนหากจำเป็น (ถ้าโชคดีพอผลลัพธ์ทั้งหมดของคุณเป็นจำนวนเต็มอย่างไรก็ตามมันหายากมาก)
   • บางทีเครื่องคิดเลขของคุณอาจมีฟังก์ชันที่แปลงทศนิยมเป็นเศษส่วนโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่นเมื่อใช้ TI-86 คุณสามารถไปที่ฟังก์ชัน Math เลือก Misc จากนั้น Frac แล้วกด Enter ทศนิยมจะแสดงเป็นเศษส่วนโดยอัตโนมัติ
10. เครื่องคิดเลขกราฟส่วนใหญ่มีวงเล็บเหลี่ยม (สำหรับ TI-84 นั่นคือ 2nd + x และ 2nd + -) ที่ให้คุณป้อนเมทริกซ์โดยไม่ต้องใช้ฟังก์ชันเมทริกซ์ หมายเหตุ: เครื่องคิดเลขอาจไม่จัดรูปแบบเมทริกซ์จนกว่าจะใช้คีย์ Enter / เท่ากับ (หมายความว่าทุกอย่างจะอยู่ในแถวเดียวกันและไม่ค่อยดีนัก) โฆษณา

คำแนะนำ

• คุณสามารถทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อค้นหาค่าผกผันของเมทริกซ์ที่ไม่เพียง แต่มีตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตัวแปรไม่ทราบหรือแม้แต่นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิต
• เขียนขั้นตอนทั้งหมดเนื่องจากการหาค่าผกผันของเมทริกซ์ 3x3 เพียงแค่ทำคณิตศาสตร์นั้นยากมาก
• มีโปรแกรมเครื่องคิดเลขที่ช่วยให้คุณค้นหาเมทริกซ์ผกผันได้ถึง 30x30 เมทริกซ์
• ไม่ว่าจะใช้วิธีใดตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์โดยการคูณ M ด้วย M คุณจะยืนยันว่า M * M = M * M = I โดยที่ฉันคือเมทริกซ์หน่วย ประกอบด้วยองค์ประกอบ 1 ที่อยู่ตามเส้นทแยงมุมหลักและเลขศูนย์ที่อื่น หากคุณไม่ได้รับผลลัพธ์ดังกล่าวคุณต้องผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง

คำเตือน

• เมทริกซ์ 3x3 ไม่ใช่ทั้งหมดที่มีเมทริกซ์ผกผัน ถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็น 0 เมทริกซ์นั้นจะไม่สามารถย้อนกลับได้ (โปรดทราบว่าในสูตรเราหารด้วย det (M) การหารด้วยศูนย์เป็นการดำเนินการที่ไม่ได้กำหนดไว้)