เนื้อหา

• ขั้นตอน
• คำแนะนำ

Velocity หมายถึงความเร็วของวัตถุในทิศทางที่กำหนด ในหลาย ๆ กรณีในการหาความเร็วเราจะใช้สมการ v = s / t โดยที่ v คือความเร็ว s คือระยะทางรวมของการกระจัดของวัตถุจากตำแหน่งเดิมและ t คือเวลาที่วัตถุจะเดินทาง ไปตลอดทาง. อย่างไรก็ตามในทางทฤษฎีแล้วสูตรนี้ใช้สำหรับความเร็วเท่านั้น ปานกลาง ของสิ่งต่างๆระหว่างทาง โดยการคำนวณความเร็วของวัตถุในช่วงเวลาใดก็ได้ตามระยะทาง นั่นคือ เวลาขนส่ง และถูกกำหนดโดยสมการ v = (ds) / (dt)หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คืออนุพันธ์ของสมการสำหรับความเร็วเฉลี่ย

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 ของ 3: คำนวณความเร็วทันที

1. 

   
   
   เริ่มต้นด้วยสมการสำหรับการคำนวณความเร็วตามระยะการเคลื่อนที่ ในการหาความเร็วทันทีอันดับแรกเราต้องมีสมการที่ระบุตำแหน่งของวัตถุ (ในแง่ของการกระจัด) ณ ช่วงเวลาหนึ่ง ๆ นั่นหมายความว่าสมการต้องมีตัวแปรเดียวเท่านั้น ส ด้านหนึ่งแล้วเลี้ยว t ในอีกด้านหนึ่ง (ไม่จำเป็นต้องมีเพียงตัวแปรเดียว) เช่นนี้:
   

   s = -1.5t + 10t + 4

   • ในสมการนี้ตัวแปรคือ:

     s = การกระจัด. ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่จากตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่นถ้าวัตถุสามารถเดินไปข้างหน้า 10 เมตรและถอยหลัง 7 เมตรระยะการเดินทางทั้งหมดคือ 10 - 7 = 3 เมตร (ไม่ใช่ 10 + 7 = 17m)

     t = เวลา. ตัวแปรนี้ง่ายโดยไม่มีคำอธิบายโดยปกติจะวัดเป็นวินาที

2. 

   
   
   หาอนุพันธ์ของสมการ อนุพันธ์ของสมการเป็นอีกสมการหนึ่งที่แสดงความชันของระยะทาง ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง ในการหาอนุพันธ์ของสมการตามระยะการกระจัดให้หาค่าส่วนต่างของฟังก์ชันตามกฎทั่วไปต่อไปนี้เพื่อคำนวณอนุพันธ์: ถ้า y = a * x, Derivative = a * n * x. สิ่งนี้ใช้กับคำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ด้าน "t" ของสมการ
   • กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเริ่มได้รับส่วนต่างจากซ้ายไปขวาที่ด้าน "t" ของสมการ เมื่อใดก็ตามที่คุณพบตัวแปร "t" คุณจะลบเลขชี้กำลังด้วย 1 และคูณเทอมด้วยเลขชี้กำลังเดิม เงื่อนไขคงที่ (เงื่อนไขที่ไม่มี "t") จะหายไปเนื่องจากคูณด้วย 0 กระบวนการนี้ไม่ยากอย่างที่คิด - ลองใช้สมการในขั้นตอนข้างต้นเป็นตัวอย่าง:
     

     s = -1.5t + 10t + 4
     (2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   แทนที่ "s" ด้วย "ds / dt" เพื่อแสดงว่าสมการใหม่เป็นอนุพันธ์ของกำลังสองเดิมเราแทนที่ "s" ด้วยสัญลักษณ์ "ds / dt" ในทางทฤษฎีสัญกรณ์นี้คือ "อนุพันธ์ของ s ในรูปของ t" วิธีที่ง่ายกว่าในการทำความเข้าใจสัญกรณ์นี้ ds / dt คือความชันของจุดใด ๆ ในสมการเริ่มต้น ตัวอย่างเช่นในการหาความชันของระยะทางที่อธิบายโดยสมการ s = -1.5t + 10t + 4 ในเวลา t = 5 เราแทนที่ "5" สำหรับ t ในอนุพันธ์ของสมการ
   • ในตัวอย่างข้างต้นอนุพันธ์ของสมการมีลักษณะดังนี้:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   แทนค่าของ t ลงในสมการใหม่เพื่อหาความเร็วทันที ตอนนี้เรามีสมการอนุพันธ์แล้วการหาความเร็วทันใจ ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งนั้นง่ายมาก สิ่งที่คุณต้องทำคือเลือกค่า t และแทนที่ด้วยสมการอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่นถ้าเราต้องการหาความเร็วทันทีที่ t = 5 เราก็แค่แทนที่ "5" สำหรับ t ในสมการอนุพันธ์ ds / dt = -3t + 10 เราจะแก้สมการดังนี้
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 เมตร / วินาที

   • โปรดทราบว่าเราใช้หน่วย "เมตร / วินาที" ด้านบนเนื่องจากเรากำลังแก้ปัญหาเกี่ยวกับการกระจัดเป็นเมตรและเวลาเป็นวินาทีและความเร็วคือการกระจัดในเวลาหน่วยนี้จึงเหมาะสม
   โฆษณา

ส่วนที่ 2 ของ 3: การประมาณความเร็วทันทีแบบกราฟิก

1. 

   กราฟระยะการเคลื่อนที่ของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง ในส่วนข้างต้นเรากล่าวว่าอนุพันธ์ยังเป็นสูตรที่ช่วยให้เราสามารถหาความชัน ณ จุดใดก็ได้ในสมการที่นำมาจากอนุพันธ์ ในความเป็นจริงถ้าคุณแสดงระยะการเคลื่อนที่ของวัตถุบนกราฟ ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ คือความเร็วของวัตถุ ณ จุดนั้นทันที.
   • ในการสร้างกราฟระยะการเคลื่อนที่ให้ใช้แกน x สำหรับเวลาและแกน y สำหรับการกระจัด จากนั้นคุณกำหนดจุดจำนวนหนึ่งโดยการใส่ค่าของ t ลงในสมการการเคลื่อนที่ผลลัพธ์คือค่า s และคุณแต้มจุด t, s (x, y) บนกราฟ
   • โปรดทราบว่ากราฟอาจขยายด้านล่างแกน x หากเส้นที่แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุเคลื่อนไปตามแกน x หมายความว่าวัตถุเคลื่อนที่ถอยหลังจากตำแหน่งเดิม โดยทั่วไปกราฟจะไม่ขยายไปด้านหลังแกน y - โดยปกติแล้วเราจะไม่วัดความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่ย้อนเวลา!

2. 

   เลือกจุด P และจุด Q ที่อยู่ใกล้จุด P บนกราฟ ในการหาความชันของกราฟที่จุด P เราใช้เทคนิค "การหาขีด จำกัด " การหาขีด จำกัด หมายถึงการหาจุดสองจุด (P และ Q (จุดใกล้ P)) บนเส้นโค้งและการหาความชันของเส้นที่เชื่อมต่อจุดทั้งสองนั้นโดยทำซ้ำขั้นตอนนี้เมื่อระยะห่างระหว่าง P และ Q สั้นลง ค่อยๆ.
   • สมมติว่าระยะการเคลื่อนที่มีจุด (1; 3) และ (4; 7) ในกรณีนี้หากเราต้องการหาความชันที่ (1; 3) เราสามารถตั้งค่าได้ (1; 3) = ป และ (4; 7) = ค.

3. 

   หาความชันระหว่าง P และ Q ความชันระหว่าง P และ Q คือความแตกต่างของค่า y สำหรับ P และ Q เหนือความแตกต่างของค่า x สำหรับ P และ Q กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ H = (ย_ถาม - ย_ป) / (x_ถาม - x_ป)โดยที่ H คือความชันระหว่างจุดสองจุด ในตัวอย่างนี้ความชันระหว่าง P และ Q คือ:
   

   H = (ย_ถาม - ย_ป) / (x_ถาม - x_ป)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งโดยเลื่อน Q เข้าใกล้ P. เป้าหมายคือการ จำกัด ระยะห่างระหว่าง P และ Q ให้แคบลงจนกว่าจะถึงจุดเดียว ยิ่งระยะห่างระหว่าง P และ Q น้อยลงความชันของส่วนเล็ก ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดก็จะยิ่งใกล้กับความชันที่จุด P ทำซ้ำสองสามครั้งสำหรับสมการตัวอย่างของเราโดยใช้จุด (2; 4 , 8), (1.5; 3.95) และ (1.25; 3.49) ให้ Q และพิกัดเริ่มต้นของ P คือ (1; 3):
   

   ถาม = (2; 4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1,8
   
   ถาม = (1.5; 3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   ถาม = (1.25; 3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   H = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   ประมาณความชันของส่วนที่เล็กมากบนเส้นโค้งของกราฟ เมื่อ Q เข้าใกล้ P มากขึ้นเรื่อย ๆ H จะค่อยๆเข้าใกล้ความชันที่ P ในที่สุดที่เส้นเล็กมาก H จะเป็นความชันที่ P เพราะเราไม่สามารถวัดหรือคำนวณได้ ความยาวของเส้นมีขนาดเล็กมากดังนั้นให้ประมาณความชันที่ P เมื่อมองเห็นได้ชัดเจนจากจุดที่เราคำนวณ
   • ในตัวอย่างข้างต้นเมื่อเราเลื่อน H เข้าใกล้ P เราจะมีค่า H เท่ากับ 1,8; 1.9 และ 1.96 เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เข้าใกล้ 2 มากขึ้นเราจึงพูดได้ 2 คือค่าโดยประมาณของความชันที่ P
   • โปรดจำไว้ว่าความชัน ณ จุดใด ๆ บนกราฟคืออนุพันธ์ของสมการกราฟที่จุดนั้น เนื่องจากกราฟแสดงการกระจัดของวัตถุเมื่อเวลาผ่านไปดังที่เราเห็นในส่วนก่อนหน้านี้ความเร็วทันทีที่จุดใดก็ได้คืออนุพันธ์ของระยะการกระจัดของวัตถุ ณ จุดที่มีปัญหา การเข้าถึงเราสามารถพูดได้ 2 เมตร / วินาที คือค่าประมาณโดยประมาณของความเร็วทันทีเมื่อ t = 1
   โฆษณา

ส่วนที่ 3 ของ 3: ปัญหาตัวอย่าง

1. 

   จงหาความเร็วทันทีเมื่อ t = 1 ด้วยสมการการกระจัด s = 5t - 3t + 2t + 9 เหมือนตัวอย่างในส่วนแรก แต่นี่คือลูกบาศก์แทนที่จะเป็นกำลังสองดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีเดียวกันได้
   • ขั้นแรกให้หาอนุพันธ์ของสมการ:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15 ครั้ง - 6 ครั้ง + 2 ครั้ง - 6 ครั้ง + 2

   • จากนั้นเราแทนที่ค่าของ t (4) ใน:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 เมตรต่อวินาที

2. 

   ใช้วิธีการประมาณด้วยกราฟเพื่อหาความเร็วทันทีที่ (1; 3) สำหรับสมการการกระจัด s = 4t - t สำหรับปัญหานี้เราใช้พิกัด (1; 3) เป็นจุด P แต่เราต้องหาจุด Q อื่น ๆ ที่อยู่ใกล้ ๆ จากนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือค้นหาค่า H และอนุมานมูลค่าโดยประมาณ
   • อันดับแรกเราหาจุด Q เมื่อ t = 2; 1.5; 1.1 และ 1.01
     

     s = 4t - t
     
     เสื้อ = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14 ดังนั้น ถาม = (2; 14)
     
     เสื้อ = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ดังนั้น ถาม = (1.5; 7.5)
     
     เสื้อ = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ดังนั้น ถาม = (1.1; 3.74)
     
     เสื้อ = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (1,0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ก็เท่านี้แหละ ถาม = (1.01; 3.0704)

   • ต่อไปเราจะได้รับค่า H:
     

     ถาม = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     ถาม = (1.5; 7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     H = (4,5) / (0.5) = 9
     
     ถาม = (1.1; 3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     H = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     ถาม = (1.01; 3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • เนื่องจากค่า H ดูเหมือนจะใกล้เคียงกับ 7 มากขึ้นเราจึงพูดได้ว่า 7 เมตรต่อวินาที คือค่าประมาณโดยประมาณของความเร็วทันทีที่พิกัด (1; 3)
   โฆษณา

คำแนะนำ

• ในการค้นหาความเร่ง (การเปลี่ยนแปลงของความเร็วเมื่อเวลาผ่านไป) ให้ใช้วิธีการในส่วนที่หนึ่งเพื่อหาอนุพันธ์ของสมการการกระจัด จากนั้นหาอนุพันธ์อีกครั้งสำหรับสมการอนุพันธ์ที่คุณเพิ่งพบ ผลลัพธ์ก็คือคุณมีสมการสำหรับความเร่ง ณ จุดหนึ่งในเวลาที่กำหนดสิ่งที่คุณต้องทำคือเสียบเวลา
• สมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Y (ระยะการกระจัด) และ X (เวลา) สามารถทำได้ง่ายมากเนื่องจาก Y = 6x + 3 ในกรณีนี้ความชันจะคงที่และไม่จำเป็นต้องใช้ อนุพันธ์สำหรับการคำนวณความชันนั่นคือมันเป็นไปตามรูปแบบสมการพื้นฐาน Y = mx + b สำหรับกราฟเชิงเส้นนั่นคือความชันเท่ากับ 6
• ระยะการกระจัดเป็นเหมือนระยะทาง แต่มีทิศทางดังนั้นจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์และความเร็วเป็นปริมาณสเกลาร์ ระยะการเดินทางอาจติดลบในขณะที่ระยะทางอาจเป็นบวกเท่านั้น