เนื้อหา

• ขั้นตอน
• เคล็ดลับ

ฟังก์ชันตรรกยะมีรูปแบบ y = N (x) / D (x) โดยที่ N และ D เป็นพหุนาม หากต้องการพล็อตฟังก์ชันดังกล่าวอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นอย่างดี ซึ่งรวมถึงการคำนวณส่วนต่าง พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: y = (2NS - 6NS + 5)/(4NS + 2).

ขั้นตอน

1. 1 หาค่าตัดแกน y ของกราฟ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ x = 0 ลงในฟังก์ชันและรับ y = 5/2 ดังนั้นจุดตัดของกราฟที่มีแกน Y มีพิกัด (0, 5/2)วางจุดนี้บนระนาบพิกัด
2. 2 ค้นหาเส้นกำกับแนวนอน แบ่งตัวเศษด้วยตัวส่วน (ในคอลัมน์) เพื่อกำหนดพฤติกรรมของ "y" โดยมีค่าเป็น "x" มีแนวโน้มเป็นอนันต์ ในตัวอย่างของเรา การแบ่งจะเป็น y = (1/2)NS - (7/4) + 17/(8NS + 4). สำหรับค่าบวกหรือค่าลบขนาดใหญ่ของ "x" 17 / (8NS + 4) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ และกราฟเข้าใกล้เส้นตรงที่กำหนดโดยฟังก์ชัน y = (1/2)NS - (7/4). ใช้เส้นประ วาดฟังก์ชันนี้
   • หากดีกรีของตัวเศษน้อยกว่าดีกรีของตัวส่วน คุณจะไม่สามารถแบ่งตัวเศษด้วยตัวส่วนได้ และเส้นกำกับจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชัน ที่ = 0.
   • หากดีกรีของตัวเศษเท่ากับดีกรีของตัวส่วน เส้นกำกับจะเป็นเส้นแนวนอนเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่ "x" ในระดับสูงสุด
   • ถ้าดีกรีของตัวเศษมีค่ามากกว่าดีกรีของตัวส่วน 1 แสดงว่าเส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่มีความลาดเอียงซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่ "x" ถึงระดับสูงสุด
   • หากระดับของตัวเศษมากกว่าระดับของตัวส่วนโดย 2, 3 ฯลฯ ดังนั้นสำหรับค่าขนาดใหญ่ |NS| ความหมาย ที่ มีแนวโน้มเป็นอนันต์ (บวกหรือลบ) ในรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์หรือดีกรีอื่นของพหุนาม ในกรณีนี้ เป็นไปได้มากว่าคุณไม่จำเป็นต้องสร้างกราฟที่แน่นอนของฟังก์ชันที่ได้จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน
3. 3 ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรรกยะมีศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ นั่นคือ N (NS) = 0 ในตัวอย่างของเรา 2NS - 6NS + 5 = 0 การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองนี้: NS - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. เนื่องจาก discriminant เป็นค่าลบ ดังนั้น N (NS) และด้วยเหตุนี้ F (NS) ไม่มีรากที่แท้จริง กราฟของฟังก์ชันตรรกยะไม่ตัดแกน X หากฟังก์ชันมีศูนย์ (ราก) ให้วางบนระนาบพิกัด
4. 4 ค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตั้งค่าตัวส่วนเป็นศูนย์ ในตัวอย่างของเรา 4NS + 2 = 0 และ NS = -1/2. พล็อตเส้นกำกับแนวตั้งโดยใช้เส้นประ ถ้าสำหรับค่าบางอย่าง NS NS (NS) = 0 และ D (NS) = 0 ดังนั้นเส้นกำกับแนวดิ่งอาจมีหรือไม่มีก็ได้ (กรณีนี้พบไม่บ่อยนัก แต่ควรจำไว้จะดีกว่า)
5. 5 ดูเศษที่เหลือหารด้วยตัวส่วน เป็นบวกลบหรือเป็นศูนย์? ในตัวอย่างของเรา เศษที่เหลือคือ 17 ซึ่งเป็นค่าบวก ตัวส่วน 4NS + 2 บวกทางด้านขวาของเส้นกำกับแนวตั้งและค่าลบทางด้านซ้ายของมัน ซึ่งหมายความว่ากราฟของฟังก์ชันตรรกยะสำหรับค่าบวกจำนวนมาก NS เข้าใกล้เส้นกำกับจากด้านบนและสำหรับค่าลบขนาดใหญ่ NS - จากด้านล่าง. ตั้งแต่ 17 / (8NS + 4) ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันนี้จะไม่ตัดกับเส้นตรงที่ระบุโดยฟังก์ชัน ที่ = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 ค้นหา extrema ท้องถิ่น มี extremum ท้องถิ่นสำหรับ N '(NS) NS (NS) - NS (NS) NS '(NS) = 0 ในตัวอย่างของเรา N ’(NS) = 4NS - 6 และ D '(NS) = 4. N ’(NS) NS (NS) - NS (NS) NS '(NS) = (4NS - 6)(4NS + 2) - (2NS - 6NS + 5)*4 = NS + NS - 4 = 0 เมื่อแก้สมการนี้ คุณจะพบว่า NS = 3/2 และ NS = -5/2. (ค่าเหล่านี้ไม่ใช่ค่าที่แม่นยำทั้งหมด แต่เหมาะสำหรับกรณีของเราเมื่อไม่ต้องการความเที่ยงตรงสูง)
7. 7 หาค่า ที่ สำหรับแต่ละส่วนปลายของท้องถิ่น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แทนค่า NS ลงในฟังก์ชันตรรกยะเดิม ในตัวอย่างของเรา f (3/2) = 1/16 และ f (-5/2) = -65/16 กันจุด (3/2, 1/16) และ (-5/2, -65/16) บนระนาบพิกัด เนื่องจากการคำนวณขึ้นอยู่กับค่าโดยประมาณ (จากขั้นตอนก่อนหน้า) ค่าต่ำสุดและสูงสุดที่พบจึงไม่ถูกต้องทั้งหมด (แต่อาจใกล้เคียงกับค่าที่แน่นอนมาก) (จุด (3/2, 1/16) ใกล้เคียงกับจุดต่ำสุดในท้องถิ่นมาก เริ่มจากขั้นตอนที่ 3 เรารู้ว่า ที่ บวกเสมอสำหรับ NS> -1/2 และเราพบค่าเล็กน้อย (1/16); ดังนั้นค่าความผิดพลาดจึงน้อยมากในกรณีนี้)
8. 8 เชื่อมต่อจุดที่รอดำเนินการและขยายกราฟไปยังเส้นกำกับอย่างราบรื่น (อย่าลืมเกี่ยวกับทิศทางที่ถูกต้องของกราฟที่เข้าใกล้เส้นกำกับ) จำไว้ว่ากราฟต้องไม่ตัดกับแกน X (ดูขั้นตอนที่ 3) กราฟยังไม่ตัดกับเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้ง (ดูขั้นตอนที่ 5) อย่าเปลี่ยนทิศทางของแผนภูมิยกเว้นที่จุดสุดขั้วที่พบในขั้นตอนก่อนหน้า

เคล็ดลับ

• หากคุณทำตามขั้นตอนข้างต้นอย่างเคร่งครัดตามลำดับ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง (หรือปริมาณที่ซับซ้อนที่คล้ายกัน) เพื่อทดสอบโซลูชันของคุณ
• หากคุณไม่ต้องการคำนวณค่าของปริมาณ คุณสามารถแทนที่การค้นหา extrema ในพื้นที่ด้วยการคำนวณพิกัดคู่เพิ่มเติม (NS, ที่) ระหว่างเส้นกำกับแต่ละคู่ นอกจากนี้ หากคุณไม่สนใจว่าวิธีการที่อธิบายไว้ทำงานอย่างไร ก็ไม่ต้องแปลกใจว่าทำไมคุณหาอนุพันธ์ไม่ได้และแก้สมการ N '(NS) NS (NS) - NS (NS) NS '(NS) = 0.
• ในบางกรณี คุณจะต้องทำงานกับพหุนามลำดับที่สูงกว่า หากคุณไม่พบคำตอบที่แน่นอนโดยใช้การแยกตัวประกอบ สูตร ฯลฯ ให้ประมาณการวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้โดยใช้วิธีตัวเลข เช่น วิธีของนิวตัน
• ในบางกรณีซึ่งเกิดขึ้นไม่บ่อยนัก ตัวเศษและตัวส่วนจะใช้ตัวประกอบตัวแปรร่วมกัน ตามขั้นตอนที่อธิบายไว้ สิ่งนี้จะนำไปสู่ศูนย์และเส้นกำกับแนวตั้งที่ตำแหน่งเดียวกัน อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ และคำอธิบายคือข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
  • ศูนย์ใน N (NS) มีหลายหลากที่สูงกว่าศูนย์ใน D (NS). กราฟ F (NS) มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ณ จุดนี้ แต่ไม่ได้กำหนดไว้ที่นั่น ระบุสิ่งนี้โดยวาดวงกลมรอบจุด
  • ศูนย์ใน N (NS) และศูนย์ใน D (NS) มีหลายหลากเหมือนกัน กราฟเข้าใกล้จุดที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ค่านี้ NSแต่ไม่ได้กำหนดไว้ในนั้น ระบุสิ่งนี้โดยวาดวงกลมรอบจุด
  • ศูนย์ใน N (NS) มีหลายหลากต่ำกว่าศูนย์ใน D (NS). มีเส้นกำกับแนวตั้งอยู่ที่นี่