เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• วิธีที่ 1 จาก 1: ส่วนที่สอง: ใช้ผลรวมของ 1 ถึง N เพื่อหาผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวน
• เคล็ดลับ
• คำเตือน

จำนวนเต็มคือจำนวนเต็มที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยม หากโจทย์คณิตศาสตร์กำหนดให้คุณต้องคำนวณผลรวมของจำนวนเต็มจาก 1 ถึงค่าที่กำหนด N ก็ไม่จำเป็นต้องเพิ่มแต่ละค่าด้วยมือ แต่เพื่อประหยัดเวลาและความพยายามให้ใช้สมการ (N (N + 1)) / 2โดยที่ N คือตัวเลขสูงสุดในซีรีส์

ที่จะก้าว

1. กำหนดจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดเป็น N เมื่อเพิ่มจำนวนเต็มจาก 1 เป็นจำนวนที่กำหนด เอ็นคุณต้องกำหนด N เองเป็นจำนวนเต็มบวก N เป็นจำนวนเต็มดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นตัวเลขทศนิยมหรือเศษส่วนได้ N ต้องไม่เป็นลบด้วย
   • ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเราต้องการเพิ่มจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 ในกรณีนี้ 100 คือค่าสำหรับ N เนื่องจากเป็นตัวเลขสุดท้ายในชุดข้อมูลของเราหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวนที่มากที่สุดในการบวก
2. คูณ N (N + 1) แล้วหารด้วย 2 เมื่อคุณกำหนดค่าของ N แล้วให้ใช้ค่านี้กับสมการ (N (N + 1)) / 2 สมการนี้จะหาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดระหว่าง 1 ถึง N
   • ในตัวอย่างของเราเราป้อน 100 ค่าสำหรับ N ลงในสมการ (N (N + 1)) / 2 แล้วกลายเป็น (100 (100 + 1)) / 2
3. คำนวณคำตอบ ค่าสุดท้ายของสมการนี้คือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดระหว่าง 1 ถึง N
   • ลองแก้ตัวอย่างนี้
     • (100(100 + 1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 =
     • 5050 คือผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 5050.
4. ทำความเข้าใจว่าสมการ (N (N + 1)) / 2 ได้มาอย่างไร ลองดูตัวอย่างปัญหาอีกครั้ง แบ่งลำดับนี้ 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 ออกเป็นสองกลุ่ม - จาก 1 ถึง 50 และหนึ่งจาก 51 ถึง 100 หากคุณเพิ่มหมายเลขแรกในกลุ่มแรก (1) ลงในหมายเลขสุดท้ายใน กลุ่มที่สอง (100) คุณจะได้ 101 คุณจะได้รับคำตอบเดียวกัน (101) ด้วย 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 และอื่น ๆ ถ้าเราบวกตัวเลขแต่ละตัวในกลุ่มแรกเป็นตัวเลขที่ตรงกันในกลุ่มที่สองเราจะได้คู่ของตัวเลข 50 คู่ที่มีผลรวมเท่ากัน: 101 ดังนั้น 50 x 101 = 5050 ผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 สังเกตว่า 50 เป็นครึ่งหนึ่งของ 100 และ 101 คือ 100 + 1 อันที่จริงแล้วการสังเกตนี้ถือเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวกใด ๆ - การเพิ่มส่วนประกอบสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มและตัวเลขในกลุ่มเหล่านี้สามารถเป็นได้ กำหนดให้กันและกันในลักษณะที่แต่ละคู่มีผลรวมเท่ากัน โปรดทราบว่าสำหรับลำดับเลขจำนวนเต็มคี่จำนวนหนึ่งจะยังคงอยู่ซึ่งจะไม่มีผลต่อคำตอบสุดท้าย
   • โดยทั่วไปเราสามารถพูดได้ว่าสำหรับจำนวน N ใด ๆ ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง N จะเท่ากับ (N / 2) (N + 1) รูปตัวย่อของสมการนี้คือ (N (N + 1)) / 2 ซึ่งเป็นผลรวมของสมการจำนวนเต็ม

วิธีที่ 1 จาก 1: ส่วนที่สอง: ใช้ผลรวมของ 1 ถึง N เพื่อหาผลรวมของจำนวนเต็มสองจำนวน

1. ตัดสินใจว่าคุณจะเพิ่มแบบรวมหรือแบบพิเศษ บ่อยครั้งที่เป้าหมายไม่ได้รวมช่วงของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงจำนวนที่กำหนด แต่ระบบจะขอให้คุณหาผลรวมของช่วงของจำนวนเต็ม ระหว่าง จำนวนเต็มสองตัว N₁ และ N₂โดยที่ N₁ > น₂ และทั้งสองคือ> 1 ขั้นตอนในการหาผลรวมนี้ค่อนข้างง่าย แต่ก่อนที่เราจะเริ่มต้นเราจำเป็นต้องตัดสินใจว่าผลรวมนั้นรวมหรือไม่รวมกันหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ N₁ และ N₂ รวมถึงหรือ เท่านั้น จำนวนเต็มระหว่างเนื่องจากขั้นตอนแตกต่างกันเล็กน้อยในกรณีเหล่านี้
2. สำหรับการหาผลบวกของจำนวนเต็มระหว่างสองจำนวน N₁ และ N₂ อันดับแรกเราจะหาผลรวมของแต่ละค่าของ N แยกกันแล้วลบออก โดยทั่วไปคุณต้องลบผลรวมของค่า N ที่น้อยกว่าออกจากผลรวมของค่า N ที่ใหญ่กว่าเพื่อหาคำตอบ อย่างไรก็ตามดังที่ระบุไว้ข้างต้นสิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าส่วนเพิ่มเติมนี้รวมหรือไม่ การบวกคุณต้องลบ 1 ออกจากค่าของ N₂ ก่อนที่จะใส่ลงในสมการในขณะที่การแจงนับพิเศษคุณต้องลบ 1 ออกจากค่าสำหรับ N₁.
   • สมมติว่า รวม ผลรวมของจำนวนเต็มระหว่าง N₁ = 100 และ N₂ = 75 กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องหาผลรวมของอนุกรม 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 ในการทำเช่นนี้เราหาผลรวมของจำนวนเต็มจาก 1 ถึง N₁และลบผลรวมนั้นออกจากจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง N₂ - 1 (จำไว้ว่าเราบวกรวมดังนั้นลบ 1 จาก N₂) และทำงานได้ดังนี้:
     • (น₁(น₁ + 1)) / 2 - ((น₂-1) ((น₂-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275 ผลรวมของจำนวนเต็มระหว่าง 75 ถึง 100 คือ 2275.
   • ตอนนี้ขอ พิเศษ เริ่มนับ สมการยังคงเหมือนเดิมยกเว้นว่าเราจะลบ 1 ออกจาก N ในกรณีนี้₁ แทน N₂:
     • ((น₁-1) ((น₁-1) + 1)) / 2 - (น₂(น₂ + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 – 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100 ผลรวมเฉพาะของจำนวนเต็มระหว่าง 75 ถึง 100 คือ 2100.
3. ทำความเข้าใจว่าเหตุใดกระบวนการนี้จึงได้ผล พิจารณาผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 เป็น 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 และผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 75 เป็น 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75 . ผลรวมของจำนวนเต็ม 75 ถึง 100 หมายถึง 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 ผลรวมของ 1-75 และ 1-100 เท่ากันจนถึง 75 -– ณ จุดนั้นผลรวมของ 1 -75 'หยุด' และผลรวมของ 1 - 100 จะดำเนินต่อไปโดย ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 ดังนั้นการลบผลรวมของจำนวนเต็ม 1-75 ออกจากผลรวมของจำนวนเต็มจาก 1-100 เราสามารถแยกผลรวมของจำนวนเต็มจาก 75-100
   • อย่างไรก็ตามหากเราบวกรวมเราต้องใช้ผลรวม 1-74 แทนผลรวม 1-75 เพื่อให้แน่ใจว่า 75 รวมอยู่ในผลรวมสุดท้าย
   • ในทำนองเดียวกันเมื่อเพิ่มเฉพาะเราใช้ผลรวมของ 1-99 แทนผลรวมของ 1-100 เพื่อให้แน่ใจว่า 100 ไม่รวมอยู่ในผลรวม เราสามารถใช้ผลรวม 1-75 ได้เนื่องจากการลบผลรวมนี้ออกจากผลรวม 1-99 จะไม่รวมตัวเลข 75 ออกจากผลรวมสุดท้ายของเรา

เคล็ดลับ

• ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนเต็มเสมอเนื่องจาก n หรือ n + 1 เป็นเลขคู่จึงหารด้วย 2 ได้
• โดยย่อ: SUM (1 ถึง n) = n (n + 1) / 2
• SUM (a ถึง b) = SUM (1 ถึง b) - SUM (1 ถึง a-1)
  
  

คำเตือน

• แม้ว่าการสรุปเป็นตัวเลขเชิงลบจะไม่ใช่เรื่องยาก แต่คำอธิบายนี้ จำกัด เฉพาะจำนวนเต็มบวก N ทั้งหมดโดยที่ N คืออย่างน้อย 1