เนื้อหา

• ที่จะก้าว

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันของเส้นโค้งตรีโกณมิติตัวแปร x การแก้ค่า x หมายถึงการหาค่าของเส้นโค้งตรีโกณมิติซึ่งฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้สมการตรีโกณมิติเป็นจริง

• คำตอบหรือค่าของเส้นโค้งของสารละลายแสดงเป็นองศาหรือเรเดียน ตัวอย่าง:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 องศา; x = 37.12 องศา; x = 178.37 องศา

• หมายเหตุ: บนวงกลมหน่วยฟังก์ชันตรีโกณมิติของเส้นโค้งใด ๆ จะเท่ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่สอดคล้องกัน วงกลมหน่วยกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของเส้นโค้งตัวแปร x นอกจากนี้ยังใช้เป็นหลักฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานและอสมการ
• ตัวอย่างสมการตรีโกณมิติ:
  • บาป x + บาป 2x = 1/2; แทน x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + บาป 2x = cos x; 2 ซิน 2x + cos x = 1

1. วงกลมหน่วย
   • นี่คือวงกลมที่มี Radius = 1 โดยที่ O เป็นจุดกำเนิด วงกลมหน่วยกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติหลัก 4 ฟังก์ชันของเส้นโค้งตัวแปร x ซึ่งจะวงกลมทวนเข็มนาฬิกา
   • เมื่อเส้นโค้งที่มีค่า x แตกต่างกันไปบนวงกลมหน่วยให้ถือ:
   • แกนนอน OAx กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ f (x) = cos x
   • OBy แกนตั้งกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ f (x) = sin x
   • แกนตั้ง AT กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ f (x) = tan x
   • BU แกนนอนกำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติ f (x) = cot x

• วงกลมหน่วยยังใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานและอสมการตรีโกณมิติมาตรฐานโดยพิจารณาตำแหน่งต่างๆของเส้นโค้ง x บนวงกลม

ที่จะก้าว

1. ทำความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหา
   • ในการแก้สมการตรีโกณมิติคุณแปลงเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานอย่างน้อยหนึ่งอย่าง ในที่สุดการแก้สมการตรีโกณมิติจะทำให้เกิดการแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน 4 สมการ
2. รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติเบื้องต้น
   • สมการตรีโกณมิติพื้นฐานมี 4 ประการ:
   • บาป x = a; cos x = ก
   • ตาล x = a; เปล x = ก
   • คุณสามารถแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานได้โดยศึกษาตำแหน่งต่างๆของเส้นโค้ง x บนวงกลมตรีโกณมิติและโดยใช้ตารางการแปลงตรีโกณมิติ (หรือเครื่องคิดเลข) หากต้องการทำความเข้าใจอย่างถ่องแท้ถึงวิธีแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานที่คล้ายคลึงกันเหล่านี้โปรดอ่านหนังสือต่อไปนี้: "ตรีโกณมิติ: การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ" (Amazon E-book 2010)
   • ตัวอย่าง 1. แก้ค่า sin x = 0.866 ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) ให้คำตอบ: x = Pi / 3 วงกลมตรีโกณมิติให้เส้นโค้งอื่น (2Pi / 3) ที่มีค่าเดียวกันสำหรับไซน์ (0.866) วงกลมตรีโกณมิติยังให้คำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเรียกว่าคำตอบเพิ่มเติม
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi และ x2 = 2Pi / 3 (ตอบกลับภายในช่วงเวลา (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi และ x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi (คำตอบโดยละเอียด).
   • ตัวอย่างที่ 2. แก้: cos x = -1/2 เครื่องคิดเลขให้ x = 2 Pi / 3 วงกลมตรีโกณมิติยังให้ x = -2Pi / 3
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi และ x2 = - 2Pi / 3 (คำตอบสำหรับช่วงเวลา (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi และ x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi (คำตอบเพิ่มเติม)
   • ตัวอย่างที่ 3. แก้: tan (x - Pi / 4) = 0
   • x = Pi / 4; (ตอบ)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (คำตอบเพิ่มเติม)
   • ตัวอย่างที่ 4. แก้: cot 2x = 1.732 เครื่องคิดเลขและวงกลมตรีโกณมิติให้:
   • x = Pi / 12; (ตอบ)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (คำตอบเพิ่มเติม)
3. เรียนรู้การแปลงที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
   • ในการแปลงสมการตรีโกณมิติที่กำหนดให้เป็นสมการตรีโกณมิติมาตรฐานให้ใช้การแปลงพีชคณิตมาตรฐาน (การแยกตัวประกอบปัจจัยร่วมพหุนาม ... ) คำจำกัดความและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ มีประมาณ 31, 14 รายการซึ่งเป็นอัตลักษณ์ตรีโกณมิติตั้งแต่ 19 ถึง 31 หรือเรียกอีกอย่างว่าอัตลักษณ์การเปลี่ยนแปลงเนื่องจากใช้ในการแปลงสมการตรีโกณมิติ ดูหนังสือด้านบน
   • ตัวอย่างที่ 5: สมการตรีโกณมิติ: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 สามารถแปลงเป็นผลคูณของสมการตรีโกณมิติพื้นฐานโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. สมการตรีโกณมิติพื้นฐานที่จะแก้คือ cos x = 0; บาป (3x / 2) = 0; และ cos (x / 2) = 0
4. ค้นหาเส้นโค้งที่รู้จักฟังก์ชันตรีโกณมิติ
   • ก่อนที่คุณจะสามารถเรียนรู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติคุณจำเป็นต้องรู้วิธีค้นหาเส้นโค้งอย่างรวดเร็วซึ่งรู้จักฟังก์ชันตรีโกณมิติ ค่าการแปลงของเส้นโค้ง (หรือมุม) สามารถกำหนดได้ด้วยตารางตรีโกณมิติหรือเครื่องคิดเลข
   • ตัวอย่าง: แก้ค่า cos x = 0.732 เครื่องคิดเลขให้คำตอบ x = 42.95 องศา วงกลมหน่วยให้เส้นโค้งอื่น ๆ ที่มีค่าเดียวกันสำหรับโคไซน์
5. วาดส่วนโค้งของคำตอบบนวงกลมหน่วย
   • คุณสามารถสร้างกราฟเพื่อแสดงวิธีแก้ปัญหาบนวงกลมหน่วย จุดสิ้นสุดของเส้นโค้งเหล่านี้คือรูปหลายเหลี่ยมปกติบนวงกลมตรีโกณมิติ ตัวอย่างบางส่วน:
   • จุดสิ้นสุดของเส้นโค้ง x = Pi / 3 + k Pi / 2 เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนวงกลมหน่วย
   • เส้นโค้งของ x = Pi / 4 + k.Pi / 3 แสดงด้วยพิกัดของรูปหกเหลี่ยมบนวงกลมหน่วย
6. เรียนรู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติ
   • ถ้าสมการตรีโกณมิติที่ระบุมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียวให้แก้เป็นสมการตรีโกณมิติมาตรฐาน หากสมการที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไปจะมีวิธีการแก้ปัญหา 2 วิธีขึ้นอยู่กับตัวเลือกสำหรับการแปลงสมการ
     • ก. วิธีที่ 1.
   • แปลงสมการตรีโกณมิติเป็นผลคูณของรูปแบบ: f (x) .g (x) = 0 หรือ f (x) .g (x) .h (x) = 0 โดยที่ f (x), g (x) และ h (x) เป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
   • ตัวอย่างที่ 6. แก้: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • สารละลาย. แทนที่บาป 2x ในสมการโดยใช้เอกลักษณ์: sin 2x = 2 * sin x * cos x
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0 จากนั้นแก้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมาตรฐาน 2 ฟังก์ชัน: cos x = 0 และ (sin x + 1) = 0
   • ตัวอย่าง 7. แก้: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • วิธีแก้ไข: แปลงค่านี้เป็นผลิตภัณฑ์โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ: cos 2x (2cos x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน 2 ตัวแปร: cos 2x = 0 และ (2cos x + 1) = 0
   • ตัวอย่างที่ 8. แก้: sin x - sin 3x = cos 2x (0 x 2Pi)
   • วิธีแก้ไข: แปลงค่านี้เป็นผลิตภัณฑ์โดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน 2 ตัวแปร: cos 2x = 0 และ (2sin x + 1) = 0
     • ข. แนวทาง 2.
   • แปลงสมการตรีโกณมิติเป็นสมการตรีโกณโดยมีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียวเป็นตัวแปร มีเคล็ดลับในการเลือกตัวแปรที่เหมาะสม ตัวแปรทั่วไป ได้แก่ sin x = t; คอส x = t; cos 2x = t, tan x = t และ tan (x / 2) = t
   • ตัวอย่าง 9. แก้: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi)
   • สารละลาย. ในสมการแทนที่ (cos ^ 2x) ด้วย (1 - sin ^ 2x) และทำให้สมการง่ายขึ้น:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0 ตอนนี้ใช้ sin x = t สมการจะกลายเป็น: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0 นี่คือสมการกำลังสองที่มี 2 ราก: t1 = -1 และ t2 = 9/5 เราสามารถปฏิเสธ t2 ตัวที่สองได้เพราะ> 1 ตอนนี้แก้สำหรับ: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2
   • ตัวอย่าง 10. แก้: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2
   • สารละลาย. ใช้ tan x = t แปลงสมการที่กำหนดให้เป็นสมการโดยมี t เป็นตัวแปร: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0 แก้ปัญหาสำหรับ t จากผลคูณนี้จากนั้นแก้สมการตรีโกณมิติมาตรฐานแทน x = t สำหรับ x
7. แก้สมการตรีโกณมิติพิเศษ
   • มีสมการตรีโกณมิติพิเศษบางอย่างที่ต้องมีการแปลงเฉพาะบางอย่าง ตัวอย่าง:
   • a * บาป x + b * cos x = c; a (บาป x + cos x) + b * cos x * บาป x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. เรียนรู้คุณสมบัติคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
   • ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นคาบซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะกลับสู่ค่าเดิมหลังจากการหมุนในช่วงเวลาหนึ่ง ตัวอย่าง:
     • ฟังก์ชัน f (x) = sin x มี 2Pi เป็นจุด
     • ฟังก์ชัน f (x) = tan x มี Pi เป็นจุด
     • ฟังก์ชัน f (x) = sin 2x มี Pi เป็นจุด
     • ฟังก์ชัน f (x) = cos (x / 2) มี 4Pi เป็นจุด
   • หากระบุช่วงเวลาไว้ในแบบฝึกหัด / แบบทดสอบคุณก็ต้องหาเส้นโค้ง x ภายในช่วงเวลานี้
   • หมายเหตุ: การแก้สมการตรีโกณมิติเป็นเรื่องยุ่งยากและมักนำไปสู่ข้อผิดพลาดและความผิดพลาด ดังนั้นควรตรวจสอบคำตอบอย่างรอบคอบ หลังจากแก้แล้วคุณสามารถตรวจสอบคำตอบโดยใช้เครื่องคำนวณกราฟเพื่อแทนค่าโดยตรงของสมการตรีโกณมิติที่กำหนด R (x) = 0 คำตอบ (เป็นรากที่สอง) จะได้รับในตำแหน่งทศนิยม ตัวอย่างเช่น Pi มีค่าเท่ากับ 3.14