เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• วิธีที่ 1 จาก 3: ใช้วิธีการเปลี่ยนตัว
• วิธีที่ 2 จาก 3: ใช้วิธีกำจัด
• วิธีที่ 3 จาก 3: สร้างกราฟสมการ
• เคล็ดลับ
• คำเตือน

ใน "ระบบสมการ" ระบบจะขอให้คุณแก้สมการสองสมการในเวลาเดียวกัน เมื่อทั้งสองมีตัวแปรที่แตกต่างกันเช่น x และ y หรือ a และ b การดูวิธีแก้ปัญหาในตอนแรกอาจเป็นเรื่องยาก โชคดีที่เมื่อคุณรู้ว่าต้องทำอะไรคุณเพียงแค่ต้องมีทักษะพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ (และบางครั้งก็มีความรู้เพียงเศษเสี้ยว) ในการแก้ปัญหา หากจำเป็นหรือหากคุณเป็นนักเรียนด้านการมองเห็นให้เรียนรู้วิธีการสร้างกราฟสมการด้วย การสร้างกราฟ (การลงจุด) กราฟอาจมีประโยชน์ในการ "ดูว่าเกิดอะไรขึ้น" หรือตรวจสอบงานของคุณ แต่ก็อาจช้ากว่าวิธีอื่น ๆ และใช้ไม่ได้กับระบบสมการทั้งหมด

ที่จะก้าว

วิธีที่ 1 จาก 3: ใช้วิธีการเปลี่ยนตัว

1. ย้ายตัวแปรไปยังด้านต่างๆของสมการ วิธี "การแทนที่" นี้เริ่มต้นด้วย "การแก้สำหรับ x" (หรือตัวแปรอื่น ๆ ) ในสมการอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่นเรามีสมการต่อไปนี้: 4x + 2y = 8 และ 5x + 3x = 9. ก่อนอื่นเรามาดูการเปรียบเทียบก่อน จัดเรียงใหม่โดยการลบ 2y จากแต่ละด้านและคุณจะได้รับ: 4x = 8-2y.
   • วิธีนี้มักใช้เศษส่วนในระยะต่อมา คุณยังสามารถใช้วิธีการกำจัดด้านล่างหากคุณไม่ต้องการทำงานกับเศษส่วน
2. หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อแก้ปัญหาสำหรับ "x" เมื่อคุณมีคำว่า x (หรือตัวแปรใดก็ตามที่คุณใช้) ที่ด้านใดด้านหนึ่งของสมการให้หารทั้งสองข้างของสมการเพื่อแยกตัวแปรออก ตัวอย่างเช่น:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. ใส่กลับเข้าไปในสมการอื่น อย่าลืมกลับไปที่ไฟล์ อื่น ๆ การเปรียบเทียบไม่ใช่สิ่งที่คุณเคยใช้อยู่แล้ว ในสมการนั้นคุณแทนที่ตัวแปรที่คุณแก้ไขแล้วเหลือเพียงตัวแปรเดียว ตัวอย่างเช่น:
   • ตอนนี้คุณรู้แล้วว่า: x = 2 - ½y.
   • สมการที่สองที่คุณยังไม่ได้เปลี่ยนคือ: 5x + 3x = 9.
   • ในสมการที่สองแทนที่ x ด้วย "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. แก้ตัวแปรที่เหลือ ตอนนี้คุณมีสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว ใช้เทคนิคพีชคณิตทั่วไปเพื่อแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรนั้น หากตัวแปรยกเลิกซึ่งกันและกันให้ข้ามไปขั้นตอนสุดท้าย. มิฉะนั้นคุณจะได้รับคำตอบสำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งของคุณ:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (หากคุณไม่เข้าใจขั้นตอนนี้ให้เรียนรู้วิธีการบวกเศษส่วนซึ่งมักจะเป็นวิธีนี้ แต่ไม่จำเป็นเสมอไป)
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. ใช้คำตอบเพื่อแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรอื่น อย่าทำพลาดในการจบปัญหาครึ่งทาง คุณจะต้องป้อนคำตอบที่คุณได้รับลงในสมการเดิมอีกครั้งเพื่อที่คุณจะได้แก้ตัวแปรอื่นได้:
   • ตอนนี้คุณรู้แล้วว่า: y = -2
   • หนึ่งในสมการดั้งเดิมคือ: 4x + 2y = 8. (สามารถใช้สมการทั้งสองสำหรับขั้นตอนนี้)
   • เสียบ -2 แทน y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. รู้ว่าจะทำอย่างไรถ้าตัวแปรทั้งสองยกเลิกซึ่งกันและกัน เมื่อคุณ x = 3y + 2 หรือได้คำตอบที่คล้ายกันในสมการอื่นคุณกำลังพยายามหาสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว บางครั้งคุณลงเอยด้วยสมการแทน ไม่มี ตัวแปร ตรวจสอบงานของคุณอีกครั้งและอย่าลืมแทนที่ (จัดเรียงใหม่) สมการแรกในสมการที่สองไม่ใช่สมการแรก หากคุณแน่ใจว่าคุณไม่ได้ทำผิดพลาดคุณจะได้รับหนึ่งในผลลัพธ์ต่อไปนี้:
   • หากคุณลงเอยด้วยสมการที่ไม่มีตัวแปรและไม่เป็นความจริง (เช่น 3 = 5) แสดงว่าคุณมีปัญหา ไม่มีทางแก้. (ถ้าคุณสร้างกราฟสมการคุณจะเห็นว่าสมการเหล่านั้นขนานกันและไม่เคยตัดกัน)
   • หากคุณลงเอยด้วยสมการที่ไม่มีตัวแปร แต่เป็นสมการ ดี เป็นจริง (เช่น 3 = 3) แสดงว่ามีปัญหา โซลูชันจำนวนไม่ จำกัด. สมการทั้งสองมีค่าเท่ากันทุกประการ (หากคุณวาดกราฟของทั้งสองสมการคุณจะเห็นว่าสมการเหล่านั้นทับซ้อนกันพอดี)

วิธีที่ 2 จาก 3: ใช้วิธีกำจัด

1. กำหนดตัวแปรที่จะกำจัด บางครั้งสมการจะ "กำจัด" ซึ่งกันและกันในตัวแปรทันทีที่คุณบวกเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่นเมื่อคุณทำสมการ 3x + 2y = 11 และ 5x - 2y = 13 รวมกัน "+ 2y" และ "-2y" จะยกเลิกซึ่งกันและกันโดยมี "y" ทั้งหมดs ถูกตัดออกจากสมการ ดูสมการในโจทย์ของคุณเพื่อดูว่าตัวแปรใดบ้างที่จะถูกกำจัดด้วยวิธีนี้ หากไม่มีตัวแปรใดถูกตัดออกให้อ่านคำแนะนำในขั้นตอนถัดไป
2. คูณสมการเพื่อยกเลิกตัวแปร (ข้ามขั้นตอนนี้หากตัวแปรได้กำจัดกันและกันแล้ว) หากไม่มีตัวแปรใดในสมการที่ยกเลิกด้วยตัวมันเองคุณจะต้องเปลี่ยนสมการอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้มันเป็นเช่นนั้น สิ่งนี้เข้าใจง่ายที่สุดด้วยตัวอย่าง:
   • สมมติว่าคุณมีระบบสมการ 3x - y = 3 และ -x + 2y = 4.
   • ลองเปลี่ยนสมการแรกเพื่อให้ตัวแปรเป็น ย ถูกกำจัด (คุณสามารถทำสิ่งนี้สำหรับไฟล์ X ทำและได้รับคำตอบเดียวกัน)
   • - ย " ของสมการแรกควรถูกกำจัดด้วย + 2 ปี ในสมการที่สอง เราสามารถทำได้โดย - ย คูณด้วย 2
   • เราคูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย 2 ดังนี้: 2 (3x - y) = 2 (3)และด้วยเหตุนี้ 6x - 2y = 6. ตอนนี้จะ - 2 ปี ล้มลงไปกับ + 2 ปี ในสมการที่สอง
3. รวมสองสมการ เพื่อให้สามารถรวมสองสมการได้ให้เพิ่มด้านซ้ายและด้านขวาเข้าด้วยกัน หากคุณเขียนสมการอย่างถูกต้องตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งควรตัดเทียบกับอีกตัวแปรหนึ่ง นี่คือตัวอย่างการใช้สมการเดียวกับขั้นตอนสุดท้าย:
   • สมการของคุณคือ: 6x - 2y = 6 และ -x + 2y = 4.
   • รวมด้านซ้าย: 6x - 2y - x + 2y =?
   • รวมด้านขวา: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. แก้ตัวแปรสุดท้าย ลดความซับซ้อนของสมการรวมจากนั้นใช้พีชคณิตพื้นฐานเพื่อแก้ตัวแปรสุดท้าย. หากไม่มีตัวแปรเหลืออยู่หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายให้ทำตามขั้นตอนสุดท้ายในส่วนนี้. มิฉะนั้นคุณควรลงท้ายด้วยคำตอบง่ายๆสำหรับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งของคุณ ตัวอย่างเช่น:
   • คุณมี: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • จัดกลุ่มตัวแปร X และ ย ซึ่งกันและกัน: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • ลดความซับซ้อน: 5x = 10
   • แก้สำหรับ x: (5x) / 5 = 10/5, ดังนั้น x = 2.
5. แก้ตัวแปรอื่น ๆ คุณพบตัวแปรหนึ่งตัว แต่คุณยังไม่เสร็จสมบูรณ์ แทนคำตอบของคุณในสมการดั้งเดิมเพื่อให้คุณสามารถแก้ตัวแปรอื่นได้ ตัวอย่างเช่น:
   • คุณรู้ว่า x = 2และนั่นคือหนึ่งในสมการดั้งเดิมของคุณ 3x - y = 3 คือ.
   • เสียบ 2 เข้าแทน x: 3 (2) - y = 3.
   • แก้ y ในสมการ: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + yดังนั้น 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. รู้ว่าจะทำอย่างไรเมื่อตัวแปรทั้งสองยกเลิกซึ่งกันและกัน บางครั้งการรวมสองสมการทำให้ได้สมการที่ไม่มีความหมายหรือไม่ช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ ตรวจสอบงานของคุณอีกครั้งตั้งแต่ต้น แต่ถ้าคุณไม่ได้ทำผิดพลาดให้เขียนคำตอบข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
   • หากสมการรวมของคุณไม่มีตัวแปรและไม่เป็นจริง (เช่น 2 = 7) แสดงว่ามี ไม่มีทางแก้ ซึ่งถือสำหรับทั้งสองสมการ (ถ้าคุณสร้างกราฟทั้งสองสมการคุณจะเห็นว่าสมการเหล่านั้นขนานกันและไม่เคยตัดกัน)
   • หากสมการรวมของคุณไม่มีตัวแปรและเป็นจริง (เช่น 0 = 0) แสดงว่ามี โซลูชันจำนวนไม่ จำกัด. ทั้งสองสมการนั้นเหมือนกันจริง (หากคุณวางสิ่งเหล่านี้ในกราฟคุณจะเห็นว่ามันทับซ้อนกันอย่างสมบูรณ์)

วิธีที่ 3 จาก 3: สร้างกราฟสมการ

1. ใช้วิธีนี้เมื่อระบุไว้เท่านั้น หากคุณไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์หรือเครื่องคำนวณกราฟระบบสมการหลายระบบสามารถแก้ไขได้โดยประมาณโดยใช้วิธีนี้เท่านั้น ครูหรือตำราคณิตศาสตร์ของคุณอาจขอให้คุณใช้วิธีนี้ดังนั้นคุณอาจคุ้นเคยกับสมการกราฟิกเช่นเส้น คุณยังสามารถใช้วิธีนี้เพื่อตรวจสอบว่าคำตอบของคุณจากวิธีการอื่น ๆ ถูกต้องหรือไม่
   • แนวคิดพื้นฐานคือคุณวาดกราฟสมการทั้งสองและกำหนดจุดที่มันตัดกัน ค่า x และ y ณ จุดนี้ให้ค่า x และค่า y ในระบบสมการ
2. แก้สมการทั้งสองสำหรับ y แยกสองสมการออกจากกันและใช้พีชคณิตเพื่อแปลงแต่ละสมการให้อยู่ในรูปแบบ "y = __x + __" ตัวอย่างเช่น:
   • สมการแรกคือ: 2x + y = 5. เปลี่ยนสิ่งนี้เป็น: y = -2x + 5.
   • สมการที่สองคือ: -3x + 6y = 0. เปลี่ยนเป็น 6y = 3x + 0และลดความซับซ้อนเป็น y = ½x + 0.
   • สมการทั้งสองเหมือนกันจากนั้นทั้งเส้นจะกลายเป็น "จุดตัด" เขียน: โซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด.
3. วาดระบบพิกัด วาด "แกน y" แนวตั้งและ "แกน x" แนวนอนบนแผ่นกระดาษกราฟ เริ่มต้นที่จุดที่เส้นตัดกันและติดป้ายกำกับตัวเลข 1, 2, 3, 4 ฯลฯ ขึ้นแกน y และตามแนวแกน x อีกครั้ง ติดป้ายตัวเลข -1, -2 ฯลฯ ตามแนวแกน y ลงและไปทางซ้ายตามแกน x
   • หากคุณไม่มีกระดาษกราฟให้ใช้ไม้บรรทัดเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขนั้นเว้นระยะเท่า ๆ กัน
   • หากคุณใช้ตัวเลขหรือตำแหน่งทศนิยมจำนวนมากคุณอาจต้องปรับขนาดแผนภูมิ (ตัวอย่างเช่น 10, 20, 30 หรือ 0.1, 0.2, 0.3 แทนที่จะเป็น 1, 2, 3)
4. วาดจุดตัด y สำหรับแต่ละบรรทัด เมื่อคุณมีสมการในรูปแบบ y = __x + __ คุณสามารถเริ่มสร้างกราฟได้โดยตั้งค่าจุดที่เส้นตัดกับแกน y ค่านี้จะเป็นค่า y เท่ากับตัวเลขสุดท้ายในสมการนี้เสมอ
   • ในตัวอย่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้หนึ่งบรรทัด (y = -2x + 5) เข้าไปในแกน y 5. อีกสายหนึ่ง (y = ½x + 0) ผ่านจุดศูนย์ 0. (คือจุด (0.5) และ (0.0) ในกราฟ)
   • ระบุเส้นแต่ละเส้นด้วยสีที่ต่างกันถ้าเป็นไปได้
5. ใช้ความลาดชันเพื่อลากเส้นต่อไป ในรูปแบบ y = __x + __คือตัวเลขสำหรับ x th ความลาดชัน ออกนอกเส้น ทุกครั้งที่ x เพิ่มขึ้นทีละหนึ่งค่า y จะเพิ่มขึ้นตามค่าของความชัน ใช้ข้อมูลนี้เพื่อหาจุดบนกราฟของแต่ละเส้นเมื่อ x = 1 (หรือแทน x = 1 สำหรับแต่ละสมการและแก้ปัญหาสำหรับ y)
   • ในตัวอย่างของเราบรรทัดมี y = -2x + 5 ความลาดชันของ -2. ที่ x = 1 บรรทัดที่ 2 ลงมา ลง จากจุด x = 0 วาดส่วนของเส้นตรงระหว่าง (0.5) และ (1.3)
   • กฎ y = ½x + 0มีความลาดชันของ ½. ที่ x = 1 เส้นจะไป½ ขึ้น จากจุด x = 0 วาดส่วนของเส้นตรงระหว่าง (0,0) และ (1, ½)
   • เมื่อเส้นมีความชันเท่ากัน เส้นจะไม่ตัดกันดังนั้นจึงไม่มีคำตอบสำหรับระบบสมการ เขียน: ไม่มีทางแก้.
6. วางพล็อตเส้นต่อไปจนกว่าจะตัดกัน หยุดและดูแผนภูมิของคุณ หากเส้นข้ามกันไปแล้วให้ไปยังขั้นตอนถัดไป มิฉะนั้นคุณจะตัดสินใจตามสิ่งที่ทำ:
   • เมื่อเส้นเคลื่อนเข้าหากันคุณจะวาดจุดในทิศทางนั้นไปเรื่อย ๆ
   • หากเส้นกำลังเคลื่อนออกจากกันให้ย้อนกลับและวาดจุดในทิศทางอื่นเริ่มต้นที่ x = -1
   • ถ้าเส้นไม่อยู่ใกล้กันให้ข้ามไปข้างหน้าและวางจุดที่อยู่ห่างออกไปเช่น x = 10
7. หาคำตอบที่จุดตัดของเส้น เมื่อทั้งสองเส้นตัดกันค่า x และ y ที่จุดนั้นจะเป็นวิธีแก้ปัญหา หากคุณโชคดีคำตอบจะเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่นในตัวอย่างของเราเส้นทั้งสองตัดกัน (2,1) คำตอบของคุณก็คือ x = 2 และ y = 1. ในบางระบบของสมการเส้นจะตัดกันที่ค่าระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนและถ้ากราฟของคุณไม่แม่นยำมากก็ยากที่จะบอกได้ว่านี่คือที่ไหน ในกรณีนี้คุณสามารถให้คำตอบเช่น "x อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2" คุณยังสามารถใช้วิธีการแทนที่หรือวิธีการกำจัดเพื่อค้นหาคำตอบที่แน่นอนได้

เคล็ดลับ

• คุณสามารถตรวจสอบงานของคุณได้โดยป้อนคำตอบกลับเข้าไปในสมการเดิม ถ้าสมการเป็นจริง (ตัวอย่างเช่น 3 = 3) แสดงว่าคำตอบของคุณถูกต้อง
• ในวิธีการกำจัดบางครั้งคุณต้องคูณสมการด้วยจำนวนลบเพื่อกำจัดตัวแปร

คำเตือน

• ไม่สามารถใช้วิธีการเหล่านี้ได้หากคุณกำลังจัดการกับเลขยกกำลังเช่น x หากต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการประเภทนี้คุณจะต้องมีคำแนะนำในการแยกตัวประกอบกำลังสองด้วยสองตัวแปร