เนื้อหา

• ขั้นตอน
• คำแนะนำ

ไม่เหมือนกับเส้นตรงค่าสัมประสิทธิ์ความชัน (ความชัน) จะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาเมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้ง แคลคูลัสให้แนวคิดว่าแต่ละจุดบนกราฟสามารถแสดงเป็นสัมประสิทธิ์ของมุมหรือ "อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที" เส้นสัมผัส ณ จุดหนึ่งคือเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากันและผ่านจุดเดียวกัน ในการหาสมการเส้นสัมผัสคุณจำเป็นต้องรู้วิธีการหาสมการดั้งเดิม

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 2: ค้นหาสมการของเส้นสัมผัส

1. 

   ฟังก์ชันกราฟและเส้นสัมผัส (ขั้นตอนนี้เป็นทางเลือก แต่แนะนำ) แผนภูมิจะช่วยให้คุณเข้าใจปัญหาได้ง่ายขึ้นและตรวจสอบว่าคำตอบนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ วาดกราฟฟังก์ชันบนกระดาษกริดใช้เครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์พร้อมฟังก์ชันกราฟเพื่ออ้างอิงหากจำเป็น วาดเส้นสัมผัสผ่านจุดที่กำหนด (โปรดจำไว้ว่าเส้นสัมผัสผ่านจุดนั้นและมีความชันเท่ากับกราฟที่นั่น)
   • ตัวอย่างที่ 1: การวาดรูปพาราโบลา วาดเส้นสัมผัสผ่านจุด (-6, -1)
     แม้ว่าคุณจะไม่ทราบสมการแทนเจนต์ แต่คุณยังสามารถเห็นว่าความชันของมันเป็นลบและลำดับเป็นลบ (ต่ำกว่าจุดยอดพาราโบลาโดยมีลำดับเป็น -5.5) หากคำตอบสุดท้ายที่พบไม่ตรงกับรายละเอียดเหล่านี้จะต้องมีข้อผิดพลาดในการคำนวณของคุณและคุณต้องตรวจสอบอีกครั้ง

2. 

   
   
   หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งเพื่อหาสมการ ความลาดชัน ของเส้นสัมผัส ด้วยฟังก์ชัน f (x) อนุพันธ์อันดับหนึ่ง f '(x) แทนสมการสำหรับความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดใด ๆ บน f (x) มีหลายวิธีในการหาอนุพันธ์ นี่คือตัวอย่างง่ายๆโดยใช้กฎอำนาจ:
   • ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): กราฟถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน
     นึกถึงกฎอำนาจเมื่อรับอนุพันธ์:.
     อนุพันธ์แรกของฟังก์ชัน = f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0
     f '(x) = x + 3 แทนที่ x ด้วยค่าใด ๆ a สมการจะให้ความชันของฟังก์ชันเส้นสัมผัส f (x) ที่จุด x = a

3. 

   
   
   ป้อนค่า x ของจุดที่กำลังพิจารณา อ่านโจทย์เพื่อหาพิกัดของจุดเพื่อหาเส้นสัมผัส ป้อนพิกัดของจุดนี้ใน f '(x) ผลลัพธ์ที่ได้คือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดดังกล่าว
   • ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): ประเด็นที่กล่าวถึงในบทความคือ (-6, -1) ใช้แรงดันไฟฟ้า -6 ในแนวทแยงเป็น f '(x):
     ฉ '(- 6) = -6 + 3 = -3
     ความชันของเส้นสัมผัสคือ -3

4. 

   
   
   เขียนสมการสำหรับเส้นสัมผัสด้วยรูปของเส้นตรงโดยรู้ค่าสัมประสิทธิ์ของมุมและจุดบนเส้นนั้น สมการเชิงเส้นนี้เขียนเป็น. ข้างใน ม คือความชันและเป็นจุดบนเส้นสัมผัส ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการเขียนสมการแทนเจนต์ในแบบฟอร์มนี้
   • ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ):
     ความชันของเส้นสัมผัสคือ -3 ดังนั้น:
     เส้นสัมผัสผ่านจุด (-6, -1) ดังนั้นสมการสุดท้ายคือ:
     ในระยะสั้นเราสามารถ:
     

5. 

   การยืนยันแบบกราฟิก หากคุณมีเครื่องคิดเลขกราฟให้พล็อตฟังก์ชันดั้งเดิมและเส้นสัมผัสเพื่อตรวจสอบว่าคำตอบนั้นถูกต้องหรือไม่ หากทำการคำนวณบนกระดาษให้ใช้กราฟที่วาดไว้ก่อนหน้านี้เพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบของคุณไม่มีข้อผิดพลาดที่ชัดเจน
   • ตัวอย่างที่ 1 (ต่อ): ภาพวาดเริ่มต้นแสดงให้เห็นว่าเส้นสัมผัสมีสัมประสิทธิ์ของมุมเป็นลบและค่าชดเชยต่ำกว่า -5.5 สมการแทนเจนต์ที่พบคือ y = -3x -19 ซึ่งหมายความว่า -3 คือความชันของมุมและ -19 คือการกำหนด

6. 

   ลองแก้ปัญหาที่ยากขึ้น เราทำตามขั้นตอนทั้งหมดข้างต้นอีกครั้งณ จุดนี้เป้าหมายคือการหาเส้นสัมผัสที่ x = 2:
   • ค้นหาอนุพันธ์แรกโดยใช้กฎอำนาจ:. ฟังก์ชันนี้จะทำให้เรามีความชันของแทนเจนต์
   • สำหรับ x = 2 ให้ค้นหา นี่คือความชันที่ x = 2
   • สังเกตว่าคราวนี้เราไม่มีจุดและมีเพียงพิกัด x ในการค้นหาพิกัด y ให้แทนที่ x = 2 ในฟังก์ชันเดิม:. คะแนนคือ (2.27)
   • เขียนสมการสำหรับเส้นสัมผัสที่ผ่านจุดและกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของมุม:
     
     ถ้าจำเป็นให้ลดเป็น y = 25x - 23
   โฆษณา

วิธีที่ 2 จาก 2: แก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้อง

1. 

   ค้นหาสุดขีดบนกราฟ เป็นจุดที่กราฟเข้าใกล้จุดสูงสุดในพื้นที่ (จุดที่สูงกว่าจุดใกล้เคียงทั้งสองด้าน) หรือจุดต่ำสุดในพื้นที่ (ต่ำกว่าจุดใกล้เคียงทั้งสองด้าน) เส้นสัมผัสมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ที่จุดเหล่านี้เสมอ (เส้นแนวนอน) อย่างไรก็ตามค่าสัมประสิทธิ์ของมุมไม่เพียงพอที่จะสรุปว่าเป็นจุดสุดขีด วิธีค้นหามีดังนี้
   • หาอนุพันธ์แรกของฟังก์ชันเพื่อให้ได้ f '(x) ความชันของความชันของเส้นสัมผัส
   • แก้สมการ f '(x) = 0 เพื่อหาจุดสุดขั้ว ศักยภาพ.
   • การหาอนุพันธ์กำลังสองเพื่อให้ได้ f '(x) สมการจะบอกเราถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นสัมผัส
   • เปลี่ยนพิกัดที่มีศักยภาพมากที่สุด ก เป็น f '' (x) ถ้า f '(a) เป็นค่าบวกแสดงว่าเรามีค่าต่ำสุดในพื้นที่อยู่ที่ ก. ถ้า f '(a) เป็นลบแสดงว่าเรามีจุดสูงสุดในพื้นที่ ถ้า f '(a) เป็น 0 มันจะไม่สุดโต่งมันคือจุดเบี่ยงเบน
   • ถ้าสูงสุดหรือนาทีถึงที่ กค้นหา f (a) เพื่อกำหนดจุดตัด

2. 

   หาสมการของค่าปกติ เส้น "ปกติ" ของเส้นโค้ง ณ จุดหนึ่งที่ผ่านจุดนั้นและตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ในการค้นหาสมการสำหรับค่าปกติให้ใช้สิ่งต่อไปนี้: (ความชันของค่าปกติ) (ความชันของค่าปกติ) = -1 เมื่อผ่านจุดเดียวกันบนกราฟ โดยเฉพาะ:
   • ค้นหา f '(x) ความชันของเส้นสัมผัส
   • ถ้า ณ จุดหนึ่งเรามี x = ก: ค้นหา f '(a) เพื่อกำหนดความชัน ณ จุดนั้น
   • คำนวณเพื่อหาค่าสัมประสิทธิ์ของค่าปกติ
   • เขียนสมการสำหรับการตั้งฉากเพื่อให้ทราบค่าสัมประสิทธิ์ของมุมและจุดที่ผ่าน
   โฆษณา

คำแนะนำ

• หากจำเป็นให้เขียนสมการเดิมใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: f (x) = ... หรือ y = ...