เนื้อหา

• สรุปสั้นๆ
• ขั้นตอน
• ส่วนที่ 1 ของ 3: การทดสอบการหารของเมทริกซ์
• ตอนที่ 2 จาก 3: การหาเมทริกซ์ผกผัน
• ส่วนที่ 3 ของ 3: การคูณเมทริกซ์
• เคล็ดลับ
• คำเตือน
• บทความเพิ่มเติม

ถ้าคุณรู้วิธีคูณเมทริกซ์สองตัว คุณสามารถเริ่ม "หาร" เมทริกซ์ได้ คำว่า "หาร" อยู่ในเครื่องหมายคำพูด เนื่องจากเมทริกซ์ไม่สามารถแบ่งได้จริง การดำเนินการหารจะถูกแทนที่ด้วยการดำเนินการของการคูณเมทริกซ์หนึ่งด้วยเมทริกซ์ที่ผกผันของเมทริกซ์ที่สอง เพื่อความง่าย ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีจำนวนเต็ม: 10 ÷ 5. ค้นหาส่วนกลับของ 5: 5 หรือ /₅แล้วแทนที่การหารด้วยการคูณ: 10 x 5; ผลลัพธ์ของการหารและการคูณจะเหมือนกัน ดังนั้นจึงเชื่อว่าการหารสามารถแทนที่ด้วยการคูณด้วยเมทริกซ์ผกผัน โดยปกติ การคำนวณดังกล่าวจะใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สรุปสั้นๆ

1. คุณไม่สามารถหารเมทริกซ์ได้ แทนที่จะหาร เมทริกซ์หนึ่งตัวคูณด้วยอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่สอง "การแบ่ง" ของเมทริกซ์สองตัว [A] ÷ [B] เขียนดังนี้: [A] * [B] หรือ [B] * [A]
2. ถ้าเมทริกซ์ [B] ไม่ใช่กำลังสอง หรือดีเทอร์มีแนนต์ของมันคือ 0 ให้เขียนว่า "ไม่มีคำตอบที่ชัดเจน" มิฉะนั้น ให้หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ [B] และไปยังขั้นตอนถัดไป
3. ค้นหาผกผัน: [B]
4. คูณเมทริกซ์เพื่อหา [A] * [B] หรือ [B] * [A] โปรดทราบว่าลำดับการคูณเมทริกซ์จะส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย (นั่นคือ ผลลัพธ์อาจแตกต่างกันไป)

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 ของ 3: การทดสอบการหารของเมทริกซ์

1. 1 ทำความเข้าใจกับ "การแบ่ง" ของเมทริกซ์. อันที่จริง เมทริกซ์ไม่สามารถแบ่งออกได้ ไม่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เช่น "การหารเมทริกซ์หนึ่งด้วยเมทริกซ์อื่น" การหารจะถูกแทนที่ด้วยการคูณเมทริกซ์หนึ่งตัวด้วยอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่สอง นั่นคือ สัญกรณ์ [A] ÷ [B] ไม่ถูกต้อง ดังนั้นจึงถูกแทนที่ด้วยสัญกรณ์ต่อไปนี้: [A] * [B] เนื่องจากค่าทั้งสองมีค่าเท่ากันในกรณีของค่าสเกลาร์ ในทางทฤษฎีเราสามารถพูดถึง "การแบ่ง" ของเมทริกซ์ได้ แต่ก็ยังดีกว่าถ้าใช้คำศัพท์ที่ถูกต้อง
   • โปรดทราบว่า [A] * [B] และ [B] * [A] เป็นการดำเนินการที่แตกต่างกัน อาจจำเป็นต้องดำเนินการทั้งสองอย่างเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด
   • ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็น ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ เขียนลงไป ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     คุณอาจต้องคำนวณ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แตกต่าง
2. 2 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเมทริกซ์ที่คุณ "หาร" เมทริกซ์อื่นด้วยกำลังสอง ในการกลับเมทริกซ์ (หาค่าผกผันของเมทริกซ์) ต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน หากเมทริกซ์ผกผันไม่ผกผัน ย่อมไม่มีคำตอบที่แน่นอน
   • อีกครั้ง เมทริกซ์ไม่สามารถ "หารได้" ในที่นี้ ในการดำเนินการ [A] * [B] เงื่อนไขที่อธิบายไว้จะอ้างอิงถึงเมทริกซ์ [B] ในตัวอย่างของเรา เงื่อนไขนี้อ้างถึงเมทริกซ์ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • เมทริกซ์ที่สามารถกลับด้านได้เรียกว่าไม่เสื่อมสภาพหรือสม่ำเสมอ เมทริกซ์ที่ไม่สามารถกลับด้านได้เรียกว่าเสื่อมหรือเอกพจน์
3. 3 ตรวจสอบว่าสามารถคูณเมทริกซ์สองตัวได้หรือไม่ ในการคูณเมทริกซ์สองตัว จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรกต้องเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์ที่สอง หากไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้ในรายการ [A] * [B] หรือ [B] * [A] ไม่มีทางแก้ไข
   • ตัวอย่างเช่น ถ้าขนาดของเมทริกซ์ [A] คือ 4 x 3 และขนาดของเมทริกซ์ [B] คือ 2 x 2 จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา คุณไม่สามารถคูณ [A] * [B] เพราะ 4 ≠ 2 และคุณไม่สามารถคูณ [B] * [A] เพราะ 2 ≠ 3
   • โปรดทราบว่าเมทริกซ์ผกผัน [B] จะมีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากับเมทริกซ์ดั้งเดิม [B] เสมอ ไม่จำเป็นต้องหาเมทริกซ์ผกผันเพื่อตรวจสอบว่าเมทริกซ์สองตัวสามารถคูณกันได้
   • ในตัวอย่างของเรา ขนาดของเมทริกซ์ทั้งสองคือ 2 x 2 จึงสามารถคูณในลำดับใดก็ได้
4. 4 หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 2 × 2 ข้อควรจำ: คุณสามารถกลับเมทริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของมันไม่ใช่ศูนย์ (ไม่เช่นนั้น คุณจะไม่สามารถกลับเมทริกซ์ได้) วิธีหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 มีดังนี้
   • 2 x 2 เมทริกซ์: ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ เท่ากับ ad - bc นั่นคือจากผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก (ผ่านมุมซ้ายบนและมุมขวาล่าง) ลบผลคูณขององค์ประกอบของเส้นทแยงมุมอื่น ๆ (ผ่านมุมขวาบนและมุมล่างซ้าย)
   • ตัวอย่างเช่น ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ เท่ากับ (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13 ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์นี้สามารถกลับด้านได้
5. 5 หาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่ใหญ่กว่า. หากขนาดของเมทริกซ์เท่ากับ 3 x 3 ขึ้นไป ดีเทอร์มีแนนต์จะคำนวณยากขึ้นเล็กน้อย
   • เมทริกซ์ 3 x 3: เลือกรายการใดก็ได้และขีดฆ่าแถวและคอลัมน์ที่รายการนั้นอยู่ค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ผลลัพธ์ 2 × 2 แล้วคูณด้วยองค์ประกอบที่เลือก ระบุเครื่องหมายของดีเทอร์มีแนนต์ในตารางพิเศษ ทำขั้นตอนนี้ซ้ำสำหรับอีกสองรายการที่อยู่ในแถวหรือคอลัมน์เดียวกันกับรายการที่คุณเลือก แล้วหาผลรวมของปัจจัย (สาม) ที่ได้รับ อ่านบทความนี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 x 3
   • เมทริกซ์ขนาดใหญ่: ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นที่ต้องการมากที่สุดด้วยเครื่องคำนวณกราฟหรือซอฟต์แวร์ วิธีการนี้คล้ายกับวิธีการหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 แต่การนำไปใช้ด้วยตนเองค่อนข้างน่าเบื่อ ตัวอย่างเช่น ในการหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 4 x 4 คุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3 x 3 สี่ตัว
6. 6 ดำเนินการคำนวณต่อไป ถ้าเมทริกซ์ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือดีเทอร์มีแนนต์เท่ากับศูนย์ ให้เขียนว่า "ไม่มีคำตอบที่ชัดเจน" นั่นคือกระบวนการคำนวณจะเสร็จสิ้น หากเมทริกซ์เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีดีเทอร์มีแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้ข้ามไปยังส่วนถัดไป

ตอนที่ 2 จาก 3: การหาเมทริกซ์ผกผัน

1. 1 สลับองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ 2 x 2 กำหนดเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 ให้ใช้วิธีผกผันอย่างรวดเร็ว ขั้นแรก สลับองค์ประกอบด้านซ้ายบนและองค์ประกอบด้านขวาล่าง ตัวอย่างเช่น:
   • ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • บันทึก: คนส่วนใหญ่ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อกลับเมทริกซ์ขนาด 3 x 3 (หรือใหญ่กว่า) หากคุณต้องการดำเนินการด้วยตนเอง ให้ไปที่ส่วนท้ายของส่วนนี้
2. 2 อย่าสลับสององค์ประกอบที่เหลือ แต่เปลี่ยนเครื่องหมาย นั่นคือ คูณองค์ประกอบบนขวาและองค์ประกอบล่างซ้ายด้วย -1:
   • ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 หาส่วนกลับของดีเทอร์มีแนนต์. ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นี้พบได้ในส่วนก่อนหน้า ดังนั้นเราจะไม่คำนวณมันอีก อินเวอร์สของดีเทอร์มีแนนต์เขียนดังนี้: 1 / (ดีเทอร์มิแนนต์):
   • ในตัวอย่างของเรา ดีเทอร์มีแนนต์คือ 13 ค่าย้อนกลับ: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 คูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยส่วนกลับของดีเทอร์มีแนนต์ คูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ใหม่ด้วยค่าผกผันของดีเทอร์มีแนนต์ เมทริกซ์สุดท้ายจะเป็นค่าผกผันของเมทริกซ์ 2 x 2 ดั้งเดิม:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { เริ่มต้น {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} สิ้นสุด {pmatrix}}}$
5. 5 ตรวจสอบการคำนวณให้ถูกต้อง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณเมทริกซ์เดิมด้วยอินเวอร์สของมัน หากการคำนวณถูกต้อง ผลคูณของเมทริกซ์เดิมโดยอินเวอร์สจะให้เมทริกซ์เอกลักษณ์: ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... หากการทดสอบสำเร็จ ให้ไปยังส่วนถัดไป
   • ในตัวอย่างของเรา: ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { เริ่มต้น {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { เริ่มต้น {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {พีเมทริกซ์}}}$.
   • สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการคูณเมทริกซ์ อ่านบทความนี้
   • หมายเหตุ: การดำเนินการของการคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน นั่นคือ ลำดับของเมทริกซ์มีความสำคัญ แต่เมื่อเมทริกซ์เดิมคูณด้วยผกผัน ลำดับใดๆ จะนำไปสู่เมทริกซ์เอกลักษณ์
6. 6 ค้นหาผกผันของเมทริกซ์ 3 x 3 (หรือใหญ่กว่า). หากคุณคุ้นเคยกับกระบวนการนี้อยู่แล้ว ควรใช้เครื่องคำนวณกราฟหรือซอฟต์แวร์พิเศษ หากคุณต้องการค้นหาเมทริกซ์ผกผันด้วยตนเอง กระบวนการนี้จะอธิบายโดยย่อด้านล่าง:
   • เข้าร่วมเมทริกซ์เอกลักษณ์ I ทางด้านขวาของเมทริกซ์ดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น [B] → [B | ผม]. สำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดจะเท่ากับ 0
   • ลดความซับซ้อนของเมทริกซ์เพื่อให้ด้านซ้ายเป็นขั้น ลดความซับซ้อนต่อไปเพื่อให้ด้านซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
   • หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เมทริกซ์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: [I | NS]. นั่นคือ ด้านขวาของมันคือผกผันของเมทริกซ์เดิม

ส่วนที่ 3 ของ 3: การคูณเมทริกซ์

1. 1 เขียนนิพจน์ที่เป็นไปได้สองนิพจน์ การดำเนินการคูณสองสเกลาร์เป็นการสับเปลี่ยน นั่นคือ 2 x 6 = 6 x 2กรณีนี้ไม่ใช่กรณีของการคูณเมทริกซ์ ดังนั้นคุณอาจต้องแก้นิพจน์สองนิพจน์:
   • NS = [A] * [B] คือคำตอบของสมการ NS[B] = [A]
   • NS = [B] * [A] คือคำตอบของสมการ [B]NS = [เอ].
   • ดำเนินการทางคณิตศาสตร์แต่ละครั้งทั้งสองด้านของสมการ ถ้า [A] = [C] แล้ว [B] [A] ≠ [C] [B] เพราะ [B] อยู่ทางซ้ายของ [A] แต่อยู่ทางขวาของ [C]
2. 2 กำหนดขนาดของเมทริกซ์สุดท้าย ขนาดของเมทริกซ์สุดท้ายขึ้นอยู่กับขนาดของเมทริกซ์คูณ จำนวนแถวในเมทริกซ์สุดท้ายเท่ากับจำนวนแถวในเมทริกซ์แรก และจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์สุดท้ายเท่ากับจำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์ที่สอง
   • ในตัวอย่างของเรา ขนาดของเมทริกซ์ทั้งสอง ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ และ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} สิ้นสุด {pmatrix}}}$ คือ 2 x 2 ดังนั้นขนาดของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะเป็น 2 x 2
   • ลองพิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้: ถ้าขนาดของเมทริกซ์ [A] คือ 4 x 3 และขนาดของเมทริกซ์ [B] คือ 3 x 3จากนั้นเมทริกซ์สุดท้าย [A] * [B] จะเป็น 4 x 3
3. 3 ค้นหาค่าขององค์ประกอบแรก อ่านบทความนี้หรือจำขั้นตอนพื้นฐานต่อไปนี้:
   • ในการค้นหาองค์ประกอบแรก (แถวแรก คอลัมน์แรก) ของเมทริกซ์สุดท้าย [A] [B] ให้คำนวณผลคูณดอทขององค์ประกอบของแถวแรกของเมทริกซ์ [A] และองค์ประกอบของคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ [B ]. ในกรณีของเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 ดอทโปรดัคจะคำนวณดังนี้: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$.
   • ในตัวอย่างของเรา: ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... ดังนั้นองค์ประกอบแรกของเมทริกซ์สุดท้ายจะเป็นองค์ประกอบ:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 คำนวณผลคูณดอทต่อไปเพื่อค้นหาแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่สองและคอลัมน์แรกเท่ากับผลคูณดอทของแถวที่สองของเมทริกซ์ [A] และคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ [B] พยายามหาของที่เหลือด้วยตัวเอง คุณควรได้รับผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
   • ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { เริ่มต้น {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 สิ้นสุด {pmatrix}}}$
   • หากคุณต้องการหาวิธีอื่น: ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { เริ่มต้น {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { เริ่มต้น {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 จบ {pmatrix}}}$

เคล็ดลับ

• เมทริกซ์สามารถแบ่งออกเป็นสเกลาร์ สำหรับสิ่งนี้แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์จะถูกหารด้วยสเกลาร์
  • ตัวอย่างเช่น ถ้าเมทริกซ์ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ หารด้วย 2 คุณจะได้เมทริกซ์ ${ displaystyle { เริ่มต้น {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

คำเตือน

• เครื่องคิดเลขไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำเสมอไปเมื่อพูดถึงการคำนวณเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น หากเครื่องคำนวณอ้างว่ารายการนั้นเป็นตัวเลขที่น้อยมาก (เช่น 2E) ค่านั้นน่าจะเป็นศูนย์

บทความเพิ่มเติม

วิธีการคูณเมทริกซ์ วิธีหาผกผันของเมทริกซ์ 3x3 วิธีหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ 3X3 วิธีหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชันกำลังสอง วิธีการคำนวณความถี่ วิธีแก้สมการกำลังสอง วิธีวัดส่วนสูงโดยไม่ใช้สายวัด วิธีหารากที่สองของตัวเลขด้วยตนเอง วิธีการแปลงมิลลิลิตรเข้าไปกรัม วิธีการแปลงจากเลขฐานสองเป็นทศนิยม วิธีคำนวณค่า pi วิธีการแปลงจากทศนิยมเป็นไบนารี วิธีคำนวณความน่าจะเป็น วิธีแปลงนาทีเป็นชั่วโมง