เนื้อหา

• ขั้นตอน
• ส่วนที่ 1 จาก 3: Transpose the Matrix
• ส่วนที่ 2 จาก 3: คุณสมบัติการขนย้าย
• ส่วนที่ 3 ของ 3: เมทริกซ์คอนจูเกตเฮอร์มิเที่ยนที่มีองค์ประกอบที่ซับซ้อน
• เคล็ดลับ

หากคุณเรียนรู้วิธีย้ายเมทริกซ์ คุณจะเข้าใจโครงสร้างของเมทริกซ์ได้ดีขึ้น คุณอาจทราบเกี่ยวกับเมทริกซ์กำลังสองและความสมมาตรของพวกมันแล้วเพื่อช่วยให้คุณเชี่ยวชาญการย้ายตำแหน่ง เหนือสิ่งอื่นใด transposition ช่วยแปลงเวกเตอร์ให้อยู่ในรูปแบบเมทริกซ์และค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เมื่อทำงานกับเมทริกซ์ที่ซับซ้อน เมทริกซ์ Hermitian-conjugate (conjugate-transpose) สามารถช่วยคุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 จาก 3: Transpose the Matrix

1. 1 ใช้เมทริกซ์ใดๆ สามารถย้ายเมทริกซ์ใดๆ ก็ได้โดยไม่คำนึงถึงจำนวนแถวและคอลัมน์ บ่อยครั้งจำเป็นต้องย้ายเมทริกซ์กำลังสองที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน ดังนั้นเพื่อให้ง่าย ให้พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง:
   • เดอะเมทริกซ์ NS =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 ลองนึกภาพแถวแรกของเมทริกซ์ตรงเป็นคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ทรานสโพส เพียงเขียนบรรทัดแรกเป็นคอลัมน์:
   • เมทริกซ์ทรานสโพส = A
   • คอลัมน์แรกของเมทริกซ์ A:
     1
     2
     3
3. 3 ทำเช่นเดียวกันกับบรรทัดที่เหลือ แถวที่สองของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะกลายเป็นคอลัมน์ที่สองของเมทริกซ์ทรานสโพส แปลแถวทั้งหมดเป็นคอลัมน์:
   • NS =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 ลองเปลี่ยนเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส เมทริกซ์สี่เหลี่ยมใดๆ สามารถทรานสโพสได้ในลักษณะเดียวกัน แค่เขียนบรรทัดแรกเป็นคอลัมน์แรก บรรทัดที่สองเป็นคอลัมน์ที่สอง และอื่นๆ ในตัวอย่างด้านล่าง แต่ละแถวของเมทริกซ์ดั้งเดิมจะถูกทำเครื่องหมายด้วยสีของตัวเองเพื่อให้ชัดเจนขึ้นว่าเมทริกซ์ถูกแปลงอย่างไรเมื่อย้าย:
   • เดอะเมทริกซ์ Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • เดอะเมทริกซ์ Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 ให้เราแสดงการย้ายถิ่นในรูปแบบของสัญกรณ์คณิตศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดของการขนย้ายจะง่ายมาก แต่ควรเขียนเป็นสูตรที่เข้มงวด สัญกรณ์เมทริกซ์ไม่ต้องการเงื่อนไขพิเศษใดๆ:
   • สมมติให้เมทริกซ์ B ประกอบด้วย NS NS NS องค์ประกอบ (m แถวและ n คอลัมน์) จากนั้นเมทริกซ์ที่ย้าย B เป็นเซตของ NS NS NS องค์ประกอบ (n แถวและ m คอลัมน์)
   • สำหรับแต่ละองค์ประกอบ b_xy (ไลน์ NS และคอลัมน์ y) ของเมทริกซ์ B ในเมทริกซ์ B มีองค์ประกอบที่เทียบเท่า b_yx (ไลน์ y และคอลัมน์ NS).

ส่วนที่ 2 จาก 3: คุณสมบัติการขนย้าย

1. 1 (NS = ม. หลังจากการขนย้ายสองครั้งจะได้เมทริกซ์ดั้งเดิม สิ่งนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจากเมื่อคุณสลับเปลี่ยนใหม่ คุณจะเปลี่ยนแถวและคอลัมน์อีกครั้ง ส่งผลให้เป็นเมทริกซ์ดั้งเดิม
2. 2 มิเรอร์เมทริกซ์รอบเส้นทแยงมุมหลัก เมทริกซ์สี่เหลี่ยมสามารถ "พลิก" สัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักได้ นอกจากนี้ องค์ประกอบตามแนวทแยงหลัก (จาก a₁₁ ที่มุมล่างขวาของเมทริกซ์) ยังคงอยู่ที่เดิม และองค์ประกอบที่เหลือจะเคลื่อนไปยังอีกด้านหนึ่งของเส้นทแยงมุมนี้และอยู่ห่างจากมันเท่าเดิม
   • หากคุณพบว่าวิธีนี้ยากต่อการจินตนาการ ให้นำกระดาษแผ่นหนึ่งมาวาดเมทริกซ์ขนาด 4x4 จากนั้นจัดเรียงองค์ประกอบด้านข้างใหม่ให้สัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลัก ในเวลาเดียวกันให้ติดตามองค์ประกอบ a₁₄ และ₄₁... เมื่อย้ายพวกมันจะต้องสลับกันเหมือนองค์ประกอบด้านข้างคู่อื่น
3. 3 ย้ายเมทริกซ์สมมาตร องค์ประกอบของเมทริกซ์ดังกล่าวมีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมหลัก หากคุณดำเนินการข้างต้นและ "พลิก" เมทริกซ์สมมาตรจะไม่เปลี่ยนแปลง องค์ประกอบทั้งหมดจะเปลี่ยนเป็นองค์ประกอบที่คล้ายกัน อันที่จริง นี่เป็นวิธีมาตรฐานในการพิจารณาว่าเมทริกซ์ที่กำหนดมีความสมมาตรหรือไม่ หากความเท่าเทียมกัน A = A คงที่ เมทริกซ์ A จะสมมาตร

ส่วนที่ 3 ของ 3: เมทริกซ์คอนจูเกตเฮอร์มิเที่ยนที่มีองค์ประกอบที่ซับซ้อน

1. 1 พิจารณาเมทริกซ์เชิงซ้อน องค์ประกอบของเมทริกซ์เชิงซ้อนประกอบด้วยส่วนจริงและส่วนจินตภาพ เมทริกซ์ดังกล่าวยังสามารถถูกทรานสโพสได้ แม้ว่าในทางปฏิบัติส่วนใหญ่จะใช้เมทริกซ์คอนจูเกต-ทรานสโพส หรือเมทริกซ์คอนจูเกตเฮอร์มิเที่ยน
   • ให้มีเมทริกซ์ C =
     2+ผม     3-2ผม
     0+ผม     5+0ผม
2. 2 แทนที่องค์ประกอบด้วยตัวเลขคอนจูเกตที่ซับซ้อน ในการผันคำกริยาที่ซับซ้อน ส่วนจริงยังคงเหมือนเดิม และส่วนจินตภาพเปลี่ยนเครื่องหมายไปทางตรงกันข้าม ลองทำสิ่งนี้กับองค์ประกอบทั้งสี่ของเมทริกซ์
   • ค้นหาเมทริกซ์คอนจูเกตที่ซับซ้อน C * =
     2-ผม     3+2ผม
     0-ผม     5-0ผม
3. 3 เราย้ายเมทริกซ์ผลลัพธ์ หาเมทริกซ์คอนจูเกตที่ซับซ้อนที่พบแล้วเปลี่ยนมัน เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์คอนจูเกต-ทรานสโพส (เฮอร์มิเชียน-คอนจูเกต)
   • เมทริกซ์คอนจูเกตทรานสโพส C =
     2-ผม        0-ผม
     3+2ผม     5-0ผม

เคล็ดลับ

• ในบทความนี้ เมทริกซ์ทรานสโพสที่สัมพันธ์กับเมทริกซ์ A จะแสดงเป็น A นอกจากนี้ยังมีสัญกรณ์ A 'หรือ Ã
• ในบทความนี้ เมทริกซ์คอนจูเกต Hermitian เทียบกับเมทริกซ์ A จะแสดงเป็น A ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ทั่วไปในพีชคณิตเชิงเส้น ในกลศาสตร์ควอนตัม มักใช้สัญกรณ์ Aบางครั้งเมทริกซ์คอนจูเกต Hermitian ถูกเขียนในรูปแบบ A * แต่ควรหลีกเลี่ยงสัญกรณ์นี้เนื่องจากมันถูกใช้เพื่อเขียนเมทริกซ์คอนจูเกตที่ซับซ้อนด้วย