เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• เคล็ดลับ

จากกราฟให้ดูสมการกำลังสอง ขวาน + bx + c ซึ่งเขียนเป็น ก (x - h) + kมีลักษณะเป็นเส้นโค้งเรียบเป็นรูปตัวยู เราเรียกสิ่งนี้ว่า พาราโบลา. การสร้างกราฟสมการกำลังสองเกี่ยวข้องกับการหาจุดยอดทิศทางและมักจะเป็นจุดตัดกับแกน x และแกน y ในกรณีของสมการกำลังสองที่ค่อนข้างเรียบง่ายอาจเพียงพอที่จะป้อนค่าจำนวนหนึ่งสำหรับ x เพื่อระบุจุดเหล่านี้ในระบบพิกัดหลังจากนั้นจึงสามารถวาดพาราโบลาได้ ดำเนินการต่อในขั้นตอนที่ 1 เพื่อเริ่มต้น

ที่จะก้าว

1. พิจารณาว่าคุณมีสมการระดับที่สองแบบใด สามารถเขียนได้สองวิธี: สัญกรณ์มาตรฐานและสัญกรณ์จุดยอด (อีกวิธีหนึ่งในการเขียนสูตรรากที่สอง) คุณสามารถใช้ทั้งสองอย่างเพื่อสร้างกราฟของสมการกำลังสอง แต่กระบวนการจะแตกต่างกันเล็กน้อยในแต่ละกรณี ส่วนใหญ่แล้วคุณจะพบกับรูปทรงมาตรฐาน แต่ก็ไม่เจ็บที่จะเรียนรู้ที่จะใช้ทั้งสองรูปแบบ สมการกำลังสองสองรูปแบบคือ:
   • รูปทรงมาตรฐาน สมการกำลังสองถูกบันทึกไว้ว่า f (x) = ax + bx + c โดยที่ a, b และ c เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์
     • สองตัวอย่างของสมการกำลังสองมาตรฐาน: f (x) = x + 2x + 1 และ f (x) = 9x + 10x -8
   • รูปร่างจุดยอด สมการกำลังสองถูกบันทึกไว้ว่า: f (x) = a (x - h) + k โดยที่ a, h และ k เป็นจำนวนจริงและ a ไม่เท่ากับศูนย์ รูปร่างนี้เรียกว่าจุดยอดเนื่องจาก h และ k อ้างอิงโดยตรงกับส่วนบนสุดของพาราโบลาที่จุด (h, k)
     • สองตัวอย่างของสมการรูปแบบจุดยอดคือ f (x) = 9 (x - 4) + 18 และ -3 (x - 5) + 1
   • ในการสร้างกราฟของสมการเหล่านี้อันดับแรกเราจะกำหนดส่วนบนสุด (h, k) ของกราฟ ในสมการมาตรฐานคุณจะพบสิ่งนี้ผ่าน: h = -b / 2a และ k = f (h) ในขณะที่สิ่งนี้ได้รับแล้วในรูปแบบจุดยอดเนื่องจาก h และ k เกิดขึ้นในสมการ
2. กำหนดตัวแปรของคุณ ในการแก้สมการกำลังสองโดยทั่วไปจำเป็นต้องกำหนดตัวแปร a, b และ c (หรือ a, h และ k) การออกกำลังกายเป็นประจำจะทำให้คุณได้สมการระดับที่สองในรูปแบบมาตรฐาน แต่สัญกรณ์จุดยอดก็อาจเกิดขึ้นได้เช่นกัน
   • ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันมาตรฐาน f (x) = 2x + 16x + 39 ที่นี่เรามี a = 2, b = 16 และ c = 39
   • ในสัญกรณ์จุดยอด: f (x) = 4 (x - 5) + 12 ที่นี่เรามี a = 4, h = 5 และ k = 12
3. คำนวณ h. ในสัญกรณ์จุดยอดค่าของ h ถูกกำหนดไว้แล้ว แต่ในสัญกรณ์มาตรฐานยังไม่ได้คำนวณค่านี้ จำไว้ว่าด้วยสมการมาตรฐานถือ: h = -b / 2a
   • ตัวอย่าง 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2) เมื่อแก้สิ่งนี้เราจะเห็นว่า h = -4.
   • ตัวอย่างที่ 2 (f (x) = 4 (x - 5) + 12) เราจะเห็นทันทีว่า h = 5
4. คำนวณ k. เช่นเดียวกับ h k เป็นที่รู้กันอยู่แล้วจากสมการรูปแบบจุดยอด สำหรับสมการในสัญกรณ์มาตรฐานจำไว้ว่า k = f (h) กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถหา k ได้โดยการแทนที่ตัวแปร x ด้วยค่า h
   • เราได้เห็นตัวอย่างที่ 1 ว่า h = -4 ในการหา k ​​เราแก้สมการนี้โดยกรอกค่า h นี้ในสมการสำหรับตัวแปร x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39
     • k = 2 (16) - 64 + 39
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • จากตัวอย่างที่ 2 เรารู้ว่าค่าของ k เท่ากับ 12 โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณใด ๆ
5. วาดด้านบนหรือด้านล่างของกราฟ จุดยอดหรือหุบเขาของพาราโบลาคือจุด (h, k) - h ย่อมาจากพิกัด x และ k หมายถึงพิกัด y จุดยอดคือจุดศูนย์กลางของพาราโบลา - จุดสูงสุดหรือต่ำสุดจุดยอดหรือหุบเขาของกราฟในรูป "U" หรือในทางกลับกันความสามารถในการกำหนดส่วนบนสุดของพาราโบลาเป็นส่วนสำคัญในการวาดกราฟที่ถูกต้องซึ่งมักจะกำหนดส่วนบนของพาราโบลาเป็นส่วนหนึ่งของปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน
   • ในตัวอย่างที่ 1 ด้านบนของกราฟคือ (-4.7) วาดจุดบนกราฟของคุณและตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณตั้งชื่อพิกัดอย่างถูกต้อง
   • ในตัวอย่างที่ 2 ด้านบนคือ (5.12) จากจุด (0,0) คุณไปทางขวา 5 ที่แล้วขึ้น 12
6. หากจำเป็นให้วาดแกนสมมาตรของพาราโบลา แกนสมมาตรของพาราโบลาคือเส้นที่ตัดกันตรงกลางโดยแบ่งครึ่งพอดี ด้านหนึ่งของกราฟจะสะท้อนตามเส้นนี้ในอีกด้านหนึ่งของกราฟ ในสมการกำลังสองของ ax + bx + c หรือ a (x - h) + k แกนนี้คือเส้นที่ขนานกับแกน y ที่ผ่านปลายพาราโบลา
   • ในกรณีตัวอย่างที่ 1 แกนสมมาตรคือเส้นที่ขนานกับแกน y และผ่านจุด (-4,7) แม้ว่าจะไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของพาราโบลา แต่การเน้นแนวปฏิบัตินี้เพียงเล็กน้อยสามารถแสดงให้คุณเห็นว่าเส้นโค้งพาราโบลามีความสมมาตรเพียงใด
7. กำหนดทิศทางของพาราโบลา หลังจากที่คุณทราบแล้วว่าด้านบนของพาราโบลาคืออะไรคุณจำเป็นต้องรู้ว่าคุณกำลังจัดการกับภูเขาหรือพาราโบลาในหุบเขานั่นคือช่องเปิดอยู่ที่ด้านล่างหรือด้านบน โชคดีที่นี่เป็นเรื่องง่ายมาก ถ้า "a" เป็นค่าบวกแสดงว่าคุณกำลังจัดการกับพาราโบลาหุบเขา ถ้า "a" เป็นลบมันคือพาราโบลาภูเขา (โดยมีช่องเปิดอยู่ด้านล่าง)
   • ในตัวอย่างที่ 1 เรากำลังจัดการกับฟังก์ชัน (f (x) = 2x + 16x + 39) นี่จึงเป็นพาราโบลาหุบเขาเพราะ a = 2 (บวก)
   • ในตัวอย่างที่ 2 เรากำลังจัดการกับฟังก์ชัน f (x) = 4 (x - 5) + 12) และนี่ก็เป็นพาราโบลาหุบเขาเนื่องจาก a = 4 (บวก)
8. กำหนดจุดตัดของพาราโบลาถ้าจำเป็น บ่อยครั้งเมื่อโจทย์คณิตศาสตร์ถูกขอให้หาจุดตัดของพาราโบลากับแกน x (ซึ่งก็คือ "ศูนย์" ก หรือ สอง จุดที่พาราโบลาตัดกันหรือชนแกน x) แม้ว่าจะไม่ได้ร้องขอจุดเหล่านี้มีความสำคัญมากที่จะสามารถวาดกราฟได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่ใช่พาราโบลาทั้งหมดที่มีจุดตัดกับแกน x หากคุณกำลังจัดการกับพาราโบลาหุบเขาและจุดในหุบเขาอยู่เหนือแกน x หรือในกรณีของพาราโบลาภูเขาที่อยู่ใต้แกน x ก็จะไม่มีจุดตัดกัน ในกรณีนี้ให้ใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
   • กำหนดว่า f (x) = 0 และแก้สมการ วิธีนี้อาจใช้ได้กับสมการกำลังสองอย่างง่ายโดยเฉพาะในรูปจุดยอด แต่คุณจะพบว่าสิ่งนี้ยากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อฟังก์ชันต่างๆซับซ้อนขึ้น ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างบางส่วน
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12 x = 11 และ 13 คือจุดตัดกับแกน x ของพาราโบลา
   • แยกตัวประกอบของสมการ สมการบางสมการในรูปแบบ ax + bx + c สามารถเขียนใหม่ได้อย่างง่ายดายเป็น (dx + e) ​​(fx + g) โดยที่ dx × fx = ax (dx × g + fx × e) = bx และ e × g = ค. ในกรณีนี้จุดตัด x คือค่าของ x โดยที่แต่ละเทอมภายในวงเล็บจะเท่ากับ 0 ตัวอย่างเช่น:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • ในกรณีนี้จุดตัดคือ -1 เนื่องจากป้อนทั้งสองปัจจัยนี้จะให้ผลเป็นศูนย์
   • ใช้สูตร abc หากไม่สะดวกในการหาจุดตัดหรือแยกตัวประกอบของสมการให้ใช้ "สูตร abc" เพื่อจุดประสงค์นี้โดยเฉพาะ สมมติสมการในรูปแบบ ax + bx + c จากนั้นป้อนค่าของ a, b และ c ในสูตร x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a โปรดทราบว่าคำตอบนี้มักจะให้คำตอบสองคำสำหรับ x ซึ่งก็ใช้ได้นั่นหมายความว่าพาราโบลาของคุณมีจุดตัดสองจุดกับแกน x นี่คือตัวอย่าง:
     • ป้อน -5x + 1x + 10 ในสมการด้วยวิธีต่อไปนี้:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) และ (-15.18 / -10) จุดตัดของพาราโบลากับแกน x อยู่ที่ประมาณ x = -1,318 และ 1,518
     • ดังตัวอย่างที่ 1 ด้วยสมการ 2x + 16x + 39 จะมีลักษณะดังนี้:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • เนื่องจากไม่สามารถหารากที่สองของจำนวนลบได้เราจึงทราบว่าไม่มีจุดตัดกับแกน x สำหรับพาราโบลานี้โดยเฉพาะ
9. ถ้าจำเป็นให้กำหนดจุดตัดของพาราโบลากับแกน y มักไม่จำเป็น แต่บางครั้งก็ต้องหาจุดตัดนี้เช่นสำหรับโจทย์คณิตศาสตร์ นี่ค่อนข้างง่าย - ตั้งค่า x เป็น 0 และแก้สมการสำหรับ f (x) หรือ y ซึ่งให้ค่า y ของจุดที่พาราโบลาตัดกับแกน y ความแตกต่างของจุดตัดผ่านแกน x คือที่แกน y จะมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเสมอ หมายเหตุ - ด้วยสมการมาตรฐานจุดตัดกับแกน y อยู่ที่ y = c
   • ตัวอย่างเช่นเรารู้ว่าสมการกำลังสอง 2x + 16x + 39 มีจุดตัด y = 39 แต่เราสามารถหาสิ่งนี้ได้ดังนี้:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39 จุดตัดของพาราโบลากับแกน y: y = 39. ดังที่ระบุไว้ข้างต้นเราสามารถอ่านจุดตัดกันได้อย่างง่ายดายเนื่องจาก y = c
   • สมการ 4 (x - 5) + 12 มีจุดตัดกับแกน y ซึ่งพบได้ดังนี้
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112 จุดตัดกับแกน y: y = 112
10. หากคุณคิดว่าจำเป็นให้วาดจุดพิเศษก่อนแล้วจึงวาดกราฟทั้งหมด ตอนนี้คุณควรมีจุดสูงสุดหรือหุบเขาทิศทางจุดตัดกับแกน x และอาจเป็นแกน y ของสมการของคุณ จากจุดนี้คุณสามารถลองวาดพาราโบลาโดยใช้จุดเหล่านี้หรือลองหาจุดเพิ่มเติมเพื่อทำให้กราฟแม่นยำยิ่งขึ้น วิธีที่ง่ายที่สุดคือป้อนค่า x จำนวนหนึ่งซึ่งจะส่งกลับค่า y จำนวนหนึ่ง คุณมักจะถูกขอให้ (โดยครู) คำนวณคะแนนก่อนจึงจะเริ่มวาดพาราโบลาได้
    • ลองดูสมการ x + 2x + 1 อีกครั้งเรารู้แล้วว่าจุดตัดเดียวที่มีแกน x คือ (-1,0) เนื่องจากมันแตะแกน x ณ จุดนี้เท่านั้นเราจึงสามารถอนุมานได้ว่าด้านบนของกราฟเท่ากับจุดนี้ จนถึงตอนนี้เรามีเพียงจุดเดียวของพาราโบลานี้ - ไม่เพียงพอที่จะวาดกราฟ ลองหาจุดอื่น ๆ เพื่อให้แน่ใจว่าเรามีค่ามากขึ้น
      • ลองหาค่า y ที่สอดคล้องกับค่า x ต่อไปนี้: 0, 1, -2 และ -3
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1 แล้วจุด (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4 แล้วจุด (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1 แล้วจุด (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4 แล้วจุด (-3,4).
      • วางจุดเหล่านี้ในกราฟแล้ววาดพาราโบลา โปรดทราบว่าพาราโบลานั้นสมมาตรอย่างสมบูรณ์ - หากคุณรู้จุดที่ด้านใดด้านหนึ่งของกราฟคุณมักจะประหยัดงานได้มากโดยใช้จุดเหล่านี้เพื่อค้นหาจุดที่อยู่อีกด้านหนึ่งของแกนสมมาตร

เคล็ดลับ

• ถ้าจำเป็นให้ปัดเศษตัวเลขหรือใช้เศษส่วน สิ่งนี้สามารถช่วยในการแสดงแผนภูมิได้อย่างถูกต้อง
• โปรดทราบว่าถ้าสำหรับฟังก์ชัน f (x) = ax + bx + c, b หรือ c เท่ากับศูนย์เงื่อนไขเหล่านั้นจะหายไป ตัวอย่างเช่น 12x + 0x + 6 จะเท่ากับ 12x + 6 เนื่องจาก 0x เท่ากับ 0