เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• การเริ่มต้น
• วิธีที่ 1 จาก 6: การทดลองและข้อผิดพลาด
• วิธีที่ 2 จาก 6: การสลายตัว
• วิธีที่ 3 จาก 6: เล่นสามครั้ง
• วิธีที่ 4 จาก 6: ความแตกต่างระหว่างสองกำลังสอง
• วิธีที่ 5 จาก 6: สูตร ABC
• วิธีที่ 6 จาก 6: ใช้เครื่องคิดเลข
• เคล็ดลับ
• คำเตือน
• ความจำเป็น

พหุนามประกอบด้วยตัวแปร (x) เป็นกำลังหนึ่งและหลายคำศัพท์และ / หรือค่าคงที่ ในการแยกตัวประกอบของพหุนามคุณจะต้องแบ่งนิพจน์ออกเป็นนิพจน์ขนาดเล็กที่คูณกัน สิ่งนี้ต้องการคณิตศาสตร์ระดับหนึ่งดังนั้นจึงอาจเป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจหากคุณยังไปไม่ถึงจุดนั้น

ที่จะก้าว

การเริ่มต้น

1. สมการ รูปแบบมาตรฐานสำหรับสมการกำลังสองคือ:
   
   ขวาน + bx + c = 0
   เริ่มต้นด้วยการจัดเรียงคำศัพท์ในสมการของคุณจากกำลังสูงสุดไปหาค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่นใช้:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   เราจะจัดลำดับนิพจน์นี้ใหม่เพื่อให้ใช้งานได้ง่ายขึ้นเพียงแค่ย้ายคำศัพท์:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. ค้นหาปัจจัยโดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งด้านล่าง การแยกตัวประกอบของพหุนามจะทำให้เกิดนิพจน์ขนาดเล็กสองนิพจน์ที่สามารถคูณเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้พหุนามดั้งเดิม:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   ในตัวอย่างนี้ (2x +3) และ (3x + 2) คือ ปัจจัย จากนิพจน์เดิม 6x + 13x + 6
3. ตรวจสอบผลงานของคุณ! คูณปัจจัยที่คุณพบ รวมเงื่อนไขเดียวกันและเสร็จสิ้น เริ่มกับ:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   ลองทดสอบสิ่งนี้การคูณคำศัพท์โดยใช้ EBBL (ตัวแรก - ตัวแรก - ตัวใน - ตัวสุดท้าย) ซึ่งจะทำให้เรา:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   ตอนนี้เราบวก 4x และ 9x เข้าด้วยกันเพราะมันเท่ากัน เรารู้ว่าปัจจัยนั้นถูกต้องเพราะเรากลับสมการที่เราเริ่มต้นด้วย:
   
   6x + 13x + 6

วิธีที่ 1 จาก 6: การทดลองและข้อผิดพลาด

หากคุณมีพหุนามที่ค่อนข้างเรียบง่ายคุณอาจสามารถเห็นปัจจัยที่เกิดขึ้นได้ทันที ตัวอย่างเช่นหลังจากฝึกฝนไปแล้วนักคณิตศาสตร์หลายคนสามารถมองเห็นนิพจน์ได้ 4x + 4x + 1 มีปัจจัย (2x + 1) และ (2x + 1) เพียงเพราะพวกเขาเห็นสิ่งนี้หลายครั้ง (เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่เรื่องง่ายอย่างนั้นกับพหุนามที่ซับซ้อนกว่านี้) ลองใช้นิพจน์มาตรฐานที่น้อยกว่าสำหรับตัวอย่างนี้:

3x + 2x - 8

1. เขียนปัจจัยของ ก ระยะและ ค เทอม. ใช้รูปแบบ ขวาน + bx + c = 0, รู้จักไฟล์ ก และ ค เงื่อนไขและข้อสังเกตว่ามีปัจจัยใดบ้าง สำหรับ 3x + 2x - 8 หมายความว่า:
   
   a = 3 และมี 1 คู่ของปัจจัย: 1 * 3
   c = -8 และนี่มี 4 คู่ของปัจจัย: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 และ -1 * 8
2. เขียนวงเล็บสองคู่โดยเว้นช่องว่างไว้ ที่นี่คุณป้อนค่าคงที่ของแต่ละนิพจน์:
   
   (x) (x)
3. เติมช่องว่างก่อนเครื่องหมาย x ด้วยปัจจัยที่เป็นไปได้หลายประการของ ก มูลค่า. สำหรับ ก คำศัพท์ในตัวอย่างของเรา 3x มีความเป็นไปได้เพียง 1 ข้อ:
   
   (3x) (1x)
4. เติมช่องว่าง 2 ช่องหลัง x ด้วยตัวประกอบสองสามตัวสำหรับค่าคงที่ สมมติว่าเราเลือก 8 และ 1 ป้อนสิ่งนี้:
   
   (3x8) (X1)
5. พิจารณาว่าเครื่องหมายใด (บวกหรือลบ) ควรอยู่ระหว่างตัวแปร x และตัวเลข ขึ้นอยู่กับอักขระของนิพจน์ดั้งเดิมเป็นไปได้ที่จะค้นหาว่าอักขระของค่าคงที่ควรเป็นเท่าใด ลองหาค่าคงที่สองตัวของปัจจัยทั้งสอง ซ และ k พูดถึง:
   
   ถ้า ax + bx + c แล้ว (x + h) (x + k)
   ถ้าขวาน - bx - c หรือ ax + bx - c แล้ว (x - h) (x + k)
   ถ้าขวาน - bx + c แล้ว (x - h) (x - k)
   ในตัวอย่างของเรา 3x + 2x - 8 เครื่องหมายคือ: (x - h) (x + k) ซึ่งให้ปัจจัยสองประการต่อไปนี้:
   
   (3x + 8) และ (x - 1)
6. ทดสอบตัวเลือกของคุณด้วยการคูณตัวแรก - นอก - ใน - สุดท้าย การทดสอบขั้นแรกอย่างรวดเร็วเพื่อดูว่าระยะกลางเป็นค่าที่ถูกต้องหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้นคุณอาจมีผิด ค ปัจจัยที่เลือก มาทดสอบคำตอบกัน:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   โดยการคูณเราจะได้รับ:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   ลดความซับซ้อนของนิพจน์นี้โดยการเพิ่มคำที่คล้ายกัน (-3x) และ (8x) และเราจะได้รับ:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเราใช้ปัจจัยที่ไม่ถูกต้อง:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. เปลี่ยนตัวเลือกของคุณหากจำเป็น ในตัวอย่างของเราลอง 2 และ 4 แทน 1 และ 8:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   ตอนนี้ของเรา ค เทอมเท่ากับ -8 แต่ผลคูณด้านนอก / ด้านในของ (3x * -4) และ (2 * x) คือ -12x และ 2x ซึ่งไม่ถูกต้อง ข เทอมหรือ + 2x
   
   -12x + 2x = 10x
   10x ≠ 2x
8. ย้อนกลับคำสั่งถ้าจำเป็น ลองพลิก 2 และ 4:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   ตอนนี้ของเรา ค ระยะ (4 * 2 = 8) และยังคงใช้ได้ แต่ผลิตภัณฑ์ด้านนอก / ด้านในคือ -6x และ 4x เมื่อเรารวมสิ่งเหล่านี้เราจะได้รับ:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x ≠ -2x ตอนนี้เราเข้าใกล้ 2x ในจุดที่เราต้องการแล้ว แต่เครื่องหมายยังไม่ถูกต้อง
9. ตรวจสอบตัวละครของคุณอีกครั้งหากจำเป็น เราคงคำสั่งนี้ไว้ แต่สลับด้วยเครื่องหมายลบ:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   ตอนนี้ ค ระยะยังคงใช้ได้และผลิตภัณฑ์ด้านนอก / ด้านในตอนนี้คือ (6x) และ (-4x) เพราะ:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x ตอนนี้เราเห็น 2x บวกกลับจากปัญหาเดิม สิ่งเหล่านี้ต้องเป็นปัจจัยที่เหมาะสม

วิธีที่ 2 จาก 6: การสลายตัว

วิธีนี้ให้ปัจจัยที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมัน ก และ ค เงื่อนไขและใช้เพื่อค้นหาว่าปัจจัยใดถูกต้อง หากตัวเลขมีขนาดใหญ่มากหรือการคาดเดาด้วยวิธีอื่นจะใช้เวลานานเกินไปให้ใช้วิธีนี้ ตัวอย่าง:

6x + 13x + 6

1. คูณ ก ระยะกับ ค เทอม. ในตัวอย่างนี้ ก คือ 6 และ ค ยังเป็น 6
   
   6 * 6 = 36
2. ค้นหาไฟล์ ข ระยะโดยการแยกตัวประกอบและการทดสอบ เรากำลังมองหาตัวเลข 2 ตัวที่เป็นปัจจัยของ ก * ค และร่วมกัน ข เทอม (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. แทนตัวเลขสองตัวที่คุณได้รับในสมการเป็นผลรวมของ ข เทอม. กันเถอะ k และ ซ เพื่อแทนตัวเลข 2 ตัวที่เรามี 4 และ 9:
   
   ขวาน + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. แยกตัวประกอบของพหุนามโดยการจัดกลุ่ม จัดระเบียบสมการเพื่อให้คุณสามารถแยกตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสองเทอมแรกและสองเทอมสุดท้ายได้ ปัจจัยทั้งสองควรเหมือนกัน เพิ่ม GGD เข้าด้วยกันและวางไว้ในวงเล็บถัดจากปัจจัย เป็นผลให้คุณได้รับสองปัจจัย:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

วิธีที่ 3 จาก 6: เล่นสามครั้ง

คล้ายกับวิธีการย่อยสลาย. วิธีการ "เล่นสามครั้ง" จะตรวจสอบปัจจัยที่เป็นไปได้ของผลคูณของ ก และ ค และใช้เพื่อค้นหาว่าอะไร ข ต้องเป็น ใช้สมการเป็นตัวอย่าง:

8x + 10x + 2

1. คูณ ก ระยะกับ ค เทอม. เช่นเดียวกับวิธีการสลายตัวเราใช้สิ่งนี้เพื่อกำหนดผู้สมัครสำหรับ ข เทอม. ในตัวอย่างนี้: ก คือ 8 และ ค คือ 2.
   
   8 * 2 = 16
2. หาตัวเลข 2 ตัวที่มีจำนวนนี้เป็นผลคูณและมีผลรวมเท่ากับ ข เทอม. ขั้นตอนนี้เหมือนกับวิธีการสลายตัว - เราทดสอบผู้สมัครเพื่อหาค่าคงที่ ผลิตภัณฑ์ของ ก และ ค เงื่อนไขคือ 16 และ ค เทอม 10:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. นำตัวเลข 2 ตัวนี้มาแทนในสูตร "การเล่นสามคน" นำตัวเลข 2 ตัวจากขั้นตอนก่อนหน้า - มาหากัน ซ และ k เรียกพวกเขา - และใส่ไว้ในนิพจน์:
   
   ((ขวาน + h) (ขวาน + k)) / ก
   
   ด้วยสิ่งนี้เราจะได้รับ:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. ดูว่าพจน์ใดในสองพจน์ในตัวส่วนสามารถหารได้เต็มที่ ก. ในตัวอย่างนี้เรากำลังดูว่า (8x + 8) หรือ (8x + 2) สามารถหารด้วย 8. (8x + 8) หารด้วย 8 ได้หรือไม่ดังนั้นเราจึงหารเทอมนี้ด้วย ก และเราปล่อยให้อีกฝ่ายไม่ได้รับผลกระทบ
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   คำที่เราเก็บไว้ที่นี่คือคำที่ยังคงอยู่หลังจากหารด้วย ก ระยะ: (x + 1)
5. หาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (gcd) จากคำใดคำหนึ่งหรือทั้งสองคำถ้าเป็นไปได้ ในตัวอย่างนี้เราจะเห็นว่าเทอมที่สองมี gcd เป็น 2 เพราะ 8x + 2 = 2 (4x + 1) รวมคำตอบนี้กับคำที่คุณค้นพบในขั้นตอนก่อนหน้า นี่คือปัจจัยในการเปรียบเทียบของคุณ
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

วิธีที่ 4 จาก 6: ความแตกต่างระหว่างสองกำลังสอง

คุณสามารถรับรู้ค่าสัมประสิทธิ์บางส่วนในพหุนามเป็น "กำลังสอง" หรือเรียกอีกอย่างว่าผลคูณของตัวเลข 2 ตัวที่เหมือนกัน คุณอาจแยกตัวประกอบของพหุนามได้เร็วกว่ามาก เราใช้สมการ:

27x - 12 = 0

1. ลบ gcd ออกจากสมการถ้าเป็นไปได้ ในกรณีนี้เราจะเห็นว่า 27 และ 12 หารด้วย 3 ลงตัวเราจึงแยกมันออกจากกันได้:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. พิจารณาว่าค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นกำลังสองหรือไม่ ในการใช้วิธีนี้จำเป็นต้องกำหนดรากของข้อกำหนด (โปรดทราบว่าเราได้ละเว้นเครื่องหมายลบ - เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นกำลังสองจึงอาจเป็นผลคูณของจำนวนลบ 2 จำนวน)
   
   9x = 3x * 3x และ 4 = 2 * 2
3. ใช้รากที่สองที่คุณกำหนดตอนนี้คุณสามารถเขียนปัจจัยต่างๆได้ เราใช้ ก และ ค ค่าจากขั้นตอนก่อนหน้า: ก = 9 และ ค = 4 ดังนั้นรากของสิ่งนี้คือ: - √ก = 3 และ√ค = 2 นี่คือสัมประสิทธิ์ของนิพจน์แยกตัวประกอบ:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

วิธีที่ 5 จาก 6: สูตร ABC

หากดูเหมือนจะไม่มีอะไรได้ผลและคุณไม่สามารถแก้สมการได้ให้ใช้สูตร abc ใช้ตัวอย่างต่อไปนี้:

x + 4x + 1 = 0

1. ป้อนค่าที่เกี่ยวข้องในสูตร abc:
   
   x = -b ±√ (ข - 4ac)
         ---------------------
   2a
   ตอนนี้เราได้รับการแสดงออก:
   
   x = -4 ±√ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. แก้สำหรับ x ตอนนี้คุณควรได้รับ 2 ค่าสำหรับ x เหล่านี้คือ:
   
   
   x = -2 + √ (3) หรือ x = -2 - √ (3)
3. ใช้ค่าของ x เพื่อกำหนดปัจจัย ป้อนค่า x ที่ได้จากทั้งสองสมการเป็นค่าคงที่ นี่คือปัจจัยของคุณ ถ้าเราตอบสองข้อ ซ และ k เราเขียนทั้งสองปัจจัยดังต่อไปนี้:
   
   (x - ซ) (x - k)
   ในกรณีนี้คำตอบสุดท้ายคือ:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

วิธีที่ 6 จาก 6: ใช้เครื่องคิดเลข

หากได้รับอนุญาต (หรือบังคับ) ให้ใช้เครื่องคิดเลขกราฟสิ่งนี้จะทำให้การแยกตัวประกอบง่ายขึ้นมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการสอบและการสอบ คำแนะนำต่อไปนี้ใช้สำหรับเครื่องคำนวณกราฟ TI เราใช้สมการจากตัวอย่าง:

y = x - x - 2

1. ใส่สมการลงในเครื่องคิดเลขของคุณ คุณจะใช้ตัวแก้สมการหรือที่เรียกว่าหน้าจอ [Y =]
2. สร้างกราฟสมการด้วยเครื่องคิดเลข เมื่อคุณป้อนสมการแล้วให้กด [GRAPH] - ตอนนี้คุณจะเห็นเส้นโค้งซึ่งเป็นพาราโบลาเป็นภาพกราฟิกของสมการของคุณ (และเป็นพาราโบลาเพราะเรากำลังจัดการกับพหุนาม)
3. หาจุดที่พาราโบลาตัดกับแกน x เนื่องจากสมการกำลังสองมักเขียนเป็น ax + bx + c = 0 ค่า x สองค่าที่ทำให้สมการมีค่าเท่ากับศูนย์:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • หากคุณมองไม่เห็นว่าพาราโบลาตัดกับแกน x ตรงไหนให้กด [2nd] แล้วกด [TRACE] กด [2] หรือเลือก "ศูนย์" เลื่อนเคอร์เซอร์ไปทางซ้ายของจุดตัดและกด [ENTER] เลื่อนเคอร์เซอร์ไปทางขวาของจุดตัดแล้วกด [ENTER] เลื่อนเคอร์เซอร์ให้ใกล้จุดตัดกันมากที่สุดแล้วกด [ENTER] เครื่องคิดเลขจะระบุค่า x ทำเช่นนี้สำหรับทางแยกอื่นเช่นกัน
4. ป้อนค่า x ที่คุณได้รับลงในนิพจน์แฟกเตอร์ทั้งสอง ถ้าเราเอาค่า x สองค่า ซ และ k ในฐานะคำศัพท์นิพจน์ที่เราใช้มีลักษณะดังนี้:
   
   (x - h) (x - k) = 0
   ดังนั้นปัจจัยทั้งสองของเราจึงกลายเป็น:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

เคล็ดลับ

• หากคุณแยกตัวประกอบของพหุนามด้วยสูตร abc และคำตอบของคุณมีรากคุณสามารถแปลงค่า x เป็นเศษส่วนเพื่อตรวจสอบได้
• ถ้าเทอมไม่มีสัมประสิทธิ์อยู่ข้างหน้าค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากับ 1 เช่น x = 1x
• หากคุณมีเครื่องคิดเลข TI-84 มีโปรแกรมที่เรียกว่า SOLVER ที่สามารถแก้สมการกำลังสองให้คุณได้ นอกจากนี้ยังแก้พหุนามระดับสูง
• หลังจากฝึกฝนมามากในที่สุดคุณก็จะสามารถแก้พหุนามด้วยหัวใจได้ แต่เพื่อความปลอดภัยจะดีกว่าที่จะเขียนออกมาเสมอ
• หากไม่มีคำใดค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นศูนย์ จากนั้นจะมีประโยชน์ในการเขียนสมการใหม่ เช่น. x + 6 = x + 0x + 6

คำเตือน

• หากคุณกำลังเรียนรู้แนวคิดนี้ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ให้ใส่ใจกับสิ่งที่ครูกำลังอธิบายและอย่าใช้วิธีที่คุณชื่นชอบเท่านั้น คุณอาจถูกขอให้ใช้วิธีการเฉพาะสำหรับการทดสอบหรือไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคำนวณกราฟ

ความจำเป็น

• ดินสอ
• กระดาษ
• สมการกำลังสอง (เรียกอีกอย่างว่าสมการองศาที่สอง)
• เครื่องคิดเลขกราฟ (ไม่บังคับ)