เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• วิธีที่ 1 จาก 3: ทำความเข้าใจกับปัญหา
• วิธีที่ 2 จาก 3: การจัดโครงสร้างหลักฐาน
• วิธีที่ 3 จาก 3: การสร้างหลักฐาน
• เคล็ดลับ

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยาก แต่ด้วยความรู้พื้นฐานที่ถูกต้องทั้งทางคณิตศาสตร์และโครงสร้างของการพิสูจน์คุณสามารถกำหนดรูปแบบได้สำเร็จ น่าเสียดายที่ไม่มีวิธีที่ง่ายและรวดเร็วในการเรียนรู้วิธีสร้างหลักฐาน คุณต้องมีพื้นฐานที่มั่นคงในความรู้เรื่องของคุณเพื่อสร้างวิทยานิพนธ์และคำจำกัดความที่ถูกต้องสำหรับการพัฒนาหลักฐานของคุณอย่างมีเหตุผล ด้วยการอ่านตัวอย่างและฝึกฝนตัวเองคุณจะสามารถเชี่ยวชาญทักษะการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

ที่จะก้าว

วิธีที่ 1 จาก 3: ทำความเข้าใจกับปัญหา

1. ทำความเข้าใจกับคำถาม. ก่อนอื่นคุณต้องพิจารณาให้แน่ชัดว่าคุณกำลังพยายามพิสูจน์อะไรอยู่ คำถามนี้จะใช้เป็นวิทยานิพนธ์ขั้นสุดท้ายของหลักฐานด้วย ในขั้นตอนนี้คุณจะต้องกำหนดสมมติฐานที่คุณจะดำเนินการด้วย การระบุคำถามและการตั้งสมมติฐานที่จำเป็นช่วยให้คุณมีจุดเริ่มต้นในการทำความเข้าใจปัญหาและพัฒนาหลักฐาน
2. วาดไดอะแกรม เมื่อพยายามทำความเข้าใจการทำงานภายในของโจทย์คณิตศาสตร์บางครั้งการวาดแผนภาพของสิ่งที่เกิดขึ้นก็ทำได้ง่ายที่สุด แผนภูมิมีความสำคัญอย่างยิ่งในการพิสูจน์ทางเรขาคณิตเนื่องจากช่วยให้คุณเห็นภาพสิ่งที่คุณต้องการพิสูจน์ได้จริง
   • ใช้ข้อมูลที่ระบุในปัญหาเพื่อวาดภาพหลักฐาน ตั้งชื่อคนรู้จักและคนแปลกหน้า
   • เมื่อดำเนินการตามหลักฐานให้ใช้ข้อมูลที่จำเป็นเพื่อสนับสนุนหลักฐาน
3. ศึกษาหลักฐานเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง หลักฐานเป็นเรื่องยากที่จะเรียนรู้ที่จะสร้าง แต่วิธีที่ดีเยี่ยมในการเรียนรู้สิ่งนี้คือการศึกษาข้อความที่เกี่ยวข้องและวิธีการพิสูจน์
   • ตระหนักดีว่าการพิสูจน์เป็นเพียงข้อโต้แย้งที่ดีซึ่งทุกขั้นตอนได้รับการพิสูจน์ คุณสามารถค้นหาหลักฐานมากมายให้ศึกษาทั้งทางออนไลน์และในตำราเรียน
4. ถามคำถาม. เป็นเรื่องปกติมากที่จะจมปลักอยู่กับการพิสูจน์ ถามครูหรือเพื่อนร่วมชั้นถ้าคุณคิดไม่ออก คำถามหลังอาจมีคำถามที่คล้ายกันและคุณสามารถทำงานร่วมกันในประเด็นนี้ได้ ถามคำถามแล้วทำความเข้าใจจะดีกว่าที่จะลุยหาหลักฐานอย่างสุ่มสี่สุ่มห้า
   • ปรึกษากับครูของคุณหลังเลิกเรียนเพื่อขอคำอธิบายเพิ่มเติม

วิธีที่ 2 จาก 3: การจัดโครงสร้างหลักฐาน

1. กำหนดข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือชุดของคำสั่งเชิงตรรกะที่สนับสนุนโดยทฤษฎีบทและคำจำกัดความที่พิสูจน์ความถูกต้องของคำสั่งทางคณิตศาสตร์อื่น การพิสูจน์เป็นวิธีเดียวที่จะทราบได้ว่าการยืนยันนั้นถูกต้องทางคณิตศาสตร์หรือไม่
   • ความสามารถในการกำหนดข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์บ่งบอกถึงความเข้าใจพื้นฐานของปัญหาและแนวคิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับปัญหา
   • หลักฐานยังบังคับให้คุณมองคณิตศาสตร์ในรูปแบบใหม่และน่าตื่นเต้น การพยายามพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างจะทำให้คุณมีความรู้และความเข้าใจมากขึ้นแม้ว่าท้ายที่สุดแล้วหลักฐานของคุณจะดูเหมือนไม่ถูกต้องก็ตาม
2. รู้จักผู้ชมของคุณ ก่อนที่จะเขียนบทพิสูจน์คุณต้องคิดถึงผู้ชมที่คุณกำลังเขียนมันและสิ่งที่พวกเขารู้อยู่แล้ว หากคุณเขียนหลักฐานการตีพิมพ์คุณจะทำแตกต่างจากชั้นมัธยมปลาย
   • การรู้จักผู้ชมของคุณช่วยให้คุณสามารถกำหนดหลักฐานในแบบที่จะเข้าใจได้จากจำนวนความรู้พื้นฐานที่ผู้ชมมี
3. ทำความเข้าใจประเภทของหลักฐานที่คุณนำเสนอ มีการพิสูจน์หลายประเภทและประเภทที่คุณเลือกขึ้นอยู่กับกลุ่มเป้าหมายและงานที่ได้รับมอบหมาย หากคุณไม่แน่ใจว่าจะใช้เวอร์ชันใดโปรดขอคำแนะนำจากครู ในโรงเรียนมัธยมคุณอาจต้องกำหนดหลักฐานในรูปแบบเฉพาะเช่นหลักฐานสองคอลัมน์ที่เป็นทางการ
   • หลักฐานสองคอลัมน์คือโครงสร้างที่ข้อมูลและการยืนยันวางอยู่ในคอลัมน์เดียวและหลักฐานสนับสนุนถัดจากคอลัมน์ที่สอง มักใช้ในรูปทรงเรขาคณิต
   • การพิสูจน์ย่อหน้าอย่างไม่เป็นทางการใช้ข้อความที่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์และใช้สัญลักษณ์น้อยลง ในระดับที่สูงขึ้นคุณควรใช้การพิสูจน์อย่างไม่เป็นทางการเสมอ
4. เขียนหลักฐานในสองคอลัมน์เพื่อเป็นภาพรวม การจัดโครงสร้างหลักฐานเป็นสองคอลัมน์เป็นวิธีง่ายๆในการจัดระเบียบความคิดและพิจารณาปัญหา ลากเส้นตรงกลางหน้าแล้วเขียนข้อมูลและข้อความทั้งหมดทางด้านซ้าย เขียนคำจำกัดความ / คำสั่งที่เกี่ยวข้องทางด้านขวาถัดจากข้อมูลที่สนับสนุน
   • ตัวอย่างเช่น:
   • มุม A และมุม B เป็นคู่เชิงเส้น ให้
   • มุม ABC อยู่ตรง นิยามของมุมฉาก
   • มุม ABC คือ 180 ° ความหมายของเส้น
   • มุม A + มุม B = มุม ABC วางหลักเกณฑ์ในการเพิ่มมุม
   • มุม A + มุม B = 180 ° การแทน.
   • มุม A เป็นส่วนเสริมของมุม B นิยามของมุมเพิ่มเติม
   • ถาม.
5. แปลงการพิสูจน์ในสองคอลัมน์ให้เป็นการพิสูจน์อย่างไม่เป็นทางการ จากการพิสูจน์ในสองคอลัมน์ให้เขียนการพิสูจน์อย่างไม่เป็นทางการเป็นย่อหน้าโดยไม่มีสัญลักษณ์และตัวย่อมากเกินไป
   • ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามุม A และ B เป็นคู่เชิงเส้น สมมติฐานคือมุม A และมุม B เสริมซึ่งกันและกัน (เป็นส่วนเสริม) มุม A และมุม B เป็นเส้นตรงเนื่องจากเป็นคู่เชิงเส้น เส้นตรงถูกกำหนดให้เป็นมุม 180 ° กำหนดสมมุติฐานสำหรับการเพิ่มมุมมุม A และ B รวมกันเป็นบรรทัด ABC โดยวิธีการแทนที่ A และ B รวมกันคือ 180 °ดังนั้นจึงเป็นมุมเสริม ถาม.

วิธีที่ 3 จาก 3: การสร้างหลักฐาน

1. เรียนรู้คำศัพท์เกี่ยวกับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ มีข้อความและประโยคบางอย่างที่คุณเห็นอยู่เสมอในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ นี่คือวลีที่คุณควรคุ้นเคยและสามารถใช้ได้ดีในการสร้างหลักฐานของคุณเอง
   • "ถ้า A แล้ว B" หมายความว่าคุณต้องแสดงว่าถ้า A เป็นจริง B ก็ต้องเป็นจริงด้วย
   • "A if and only if B" หมายความว่าคุณต้องพิสูจน์ว่า A และ B เป็นจริงและเท็จในเวลาเดียวกัน พิสูจน์ทั้ง "ถ้า A แล้ว B" และ "ถ้าไม่ใช่ A แสดงว่าไม่ใช่ B"
   • "A ก็ต่อเมื่อ B" มีความหมายเหมือนกับ "ถ้า A แล้ว B" จึงไม่ได้ใช้บ่อย มันเป็นเรื่องดีที่จะตระหนักถึงเรื่องนี้เมื่อคุณเจอมัน
   • เมื่อสร้างหลักฐานคุณควรหลีกเลี่ยงการใช้ "I" เพื่อสนับสนุน "เรา"
2. จดข้อมูลทั้งหมด เมื่อรวบรวมหลักฐานขั้นตอนแรกคือการระบุและบันทึกข้อมูลทั้งหมด นี่เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีที่สุดเพราะจะช่วยให้คุณคิดเกี่ยวกับสิ่งที่รู้และข้อมูลที่คุณต้องใช้ในการกรอกหลักฐาน อ่านปัญหาและจดข้อมูลแต่ละชิ้น
   • ตัวอย่างเช่นพิสูจน์ว่าสองมุมที่สร้างคู่เชิงเส้น (มุม A และมุม B) เป็นส่วนเสริม
   • ระบุ: มุม A และมุม B เป็นคู่เชิงเส้น
   • หลักฐาน: มุม A เสริมกับมุม B
3. กำหนดตัวแปรทั้งหมด นอกจากการเขียนข้อมูลแล้วยังมีประโยชน์ในการกำหนดตัวแปรทั้งหมด เขียนคำจำกัดความไว้ที่จุดเริ่มต้นของหลักฐานเพื่อไม่ให้ผู้อ่านสับสน หากไม่ได้กำหนดตัวแปรไว้ผู้อ่านอาจหลงทางในการทำความเข้าใจหลักฐานของคุณได้อย่างง่ายดาย
   • อย่าใช้ตัวแปรในการพิสูจน์ของคุณที่ยังไม่ได้กำหนด
   • ตัวอย่างเช่นตัวแปรคือหน่วยวัดของมุม A และมุม B
4. ทำงานย้อนหลังผ่านหลักฐาน มักเป็นเรื่องง่ายที่สุดที่จะคิดย้อนกลับเกี่ยวกับปัญหา เริ่มต้นด้วยข้อสรุปสิ่งที่คุณพยายามพิสูจน์และคิดถึงขั้นตอนที่สามารถนำคุณกลับไปสู่จุดเริ่มต้นได้
   • แก้ไขขั้นตอนที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเพื่อดูว่าคล้ายกันหรือไม่ ใช้ข้อมูลคำจำกัดความที่คุณได้เรียนรู้และหลักฐานที่คล้ายกัน
   • ถามคำถามตัวเองไปพร้อมกัน "ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น" และ "มีวิธีใดบ้างที่เป็นเท็จ" เป็นคำถามที่ดีสำหรับข้อความหรือข้อเรียกร้องใด ๆ
   • อย่าลืมเขียนขั้นตอนตามลำดับเพื่อการพิสูจน์ขั้นสุดท้าย
   • ตัวอย่างเช่นหากมุม A และ B เสริมกันก็จะต้องรวมกันเป็น 180 ° ทั้งสองมุมเข้าด้วยกันเป็นเส้น ABC คุณรู้ว่าพวกมันก่อตัวเป็นเส้นเพราะนิยามของคู่เชิงเส้น เนื่องจากเส้นตรงคือ 180 °คุณสามารถใช้การทดแทนเพื่อพิสูจน์ว่ามุม A และมุม B รวมกันได้ถึง 180 °
5. วางขั้นตอนของคุณตามลำดับตรรกะ เริ่มต้นหลักฐานที่จุดเริ่มต้นและหาข้อสรุป แม้ว่าการคิดเกี่ยวกับหลักฐานจะเป็นประโยชน์ แต่โดยเริ่มต้นด้วยการสรุปและทำงานย้อนหลังเมื่อนำเสนอหลักฐานจริงคุณจะสรุปในตอนท้าย ข้อความในหลักฐานควรไหลออกจากกันโดยมีข้อพิสูจน์สำหรับแต่ละคำสั่งดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะสงสัยในความถูกต้องของหลักฐานของคุณ
   • เริ่มต้นด้วยการระบุสมมติฐานที่คุณกำลังดำเนินการ
   • แบ่งออกเป็นขั้นตอนที่ง่ายและชัดเจนเพื่อให้ผู้อ่านไม่ต้องสงสัยว่าขั้นตอนหนึ่งมีเหตุผลอย่างไร
   • ไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะกำหนดแนวคิดหลายข้อพิสูจน์ จัดเรียงใหม่จนกว่าขั้นตอนทั้งหมดจะอยู่ในลำดับที่สมเหตุสมผลที่สุด
   • ตัวอย่างเช่น: เริ่มต้นที่จุดเริ่มต้น
     • มุม A และมุม B เป็นคู่เชิงเส้น
     • มุม ABC อยู่ตรง
     • มุม ABC คือ 180 °
     • มุม A + มุม B = มุม ABC
     • มุม A + มุม B = 180 °
     • มุม A เสริมกับมุม B
6. หลีกเลี่ยงการใช้ลูกศรและตัวย่อในหลักฐานที่เป็นลายลักษณ์อักษร เมื่อสรุปแผนสำหรับการพิสูจน์ของคุณคุณสามารถใช้ชวเลขและสัญลักษณ์ได้ แต่เมื่อเขียนหลักฐานสุดท้ายสัญลักษณ์เช่นลูกศรอาจทำให้ผู้อ่านสับสนได้ ให้ใช้คำเช่น "then" หรือ "so" แทน
   • ข้อยกเว้นสำหรับการใช้ตัวย่อคือ: เช่น (ตัวอย่าง) และ i.e. (เช่น) แต่ให้แน่ใจว่าคุณใช้อย่างถูกต้อง
7. สนับสนุนข้อความทั้งหมดที่มีทฤษฎีบท (ทฤษฎีบท) กฎหมายหรือคำจำกัดความ หลักฐานนั้นดีพอ ๆ กับหลักฐานที่ใช้เท่านั้น คุณไม่สามารถแถลงได้โดยไม่ต้องพิสูจน์ด้วยคำจำกัดความ อ้างถึงหลักฐานอื่นที่คล้ายคลึงกันเป็นตัวอย่าง
   • พยายามใช้หลักฐานของคุณกับกรณีที่ เท็จ ต้องเป็นและตรวจสอบว่าเป็นเช่นนั้นจริง หากผลลัพธ์ไม่เป็นเท็จให้ปรับการพิสูจน์เพื่อให้เป็น
   • การพิสูจน์ทางเรขาคณิตจำนวนมากเขียนเป็นหลักฐานสองคอลัมน์พร้อมกับคำสั่งและการพิสูจน์ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการที่มีไว้สำหรับการตีพิมพ์เขียนเป็นย่อหน้าด้วยไวยากรณ์ที่ถูกต้อง
8. ปิดท้ายด้วยบทสรุปหรือ Q.E.D. คำแถลงสุดท้ายของหลักฐานต้องเป็นสมมติฐานที่คุณพยายามพิสูจน์ เมื่อคุณทำคำสั่งนี้แล้วให้ปิดหลักฐานด้วยสัญลักษณ์สุดท้ายเช่น Q.E.D. หรือสี่เหลี่ยมทึบเพื่อระบุว่าการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์
   • ถาม. ย่อมาจาก "quod erat Demonrandum" (ละตินสำหรับ "สิ่งที่ต้องพิสูจน์")
   • หากคุณไม่แน่ใจว่าหลักฐานของคุณถูกต้องหรือไม่ให้เขียนเพียงไม่กี่ประโยคว่าข้อสรุปของคุณคืออะไรและเหตุใดจึงมีความสำคัญ

เคล็ดลับ

• ข้อมูลของคุณต้องเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์สุดท้ายของคุณ หากรายการไม่มีส่วนร่วมใด ๆ เลยคุณสามารถยกเว้นได้