เนื้อหา

• ขั้นตอน

สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันของตัวแปร "x" (หรือตัวแปรอื่นๆ) การแก้สมการตรีโกณมิติคือการหาค่า "x" ที่ตรงกับฟังก์ชัน (s) และสมการโดยรวม

• คำตอบของสมการตรีโกณมิติแสดงเป็นองศาหรือเรเดียน ตัวอย่าง:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 องศา; x = 37.12 องศา; x = 178.37 องศา

• หมายเหตุ: ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมที่แสดงเป็นเรเดียนและจากมุมที่แสดงเป็นองศาจะเท่ากัน วงกลมตรีโกณมิติที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งใช้เพื่ออธิบายฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่นเดียวกับการตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบของสมการตรีโกณมิติพื้นฐานและอสมการ
• ตัวอย่างของสมการตรีโกณมิติ:
  • บาป x + บาป 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + บาป 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1

1. วงกลมตรีโกณมิติที่มีรัศมีหนึ่ง (วงกลมหนึ่งหน่วย)
   • เป็นวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งและจุดศูนย์กลางที่จุด O วงกลมหน่วยอธิบายฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน 4 ประการของตัวแปร "x" โดยที่ "x" คือมุมที่วัดจากทิศทางบวกของแกน X ทวนเข็มนาฬิกา
   • หาก "x" เป็นมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วย แสดงว่า:
   • แกนนอน OAx กำหนดฟังก์ชัน F (x) = cos x
   • แกนตั้ง Oby กำหนดฟังก์ชัน F (x) = บาป x
   • แกนตั้ง AT กำหนดฟังก์ชัน F (x) = tan x
   • แกนนอน BU กำหนดฟังก์ชัน F (x) = ctg x

• วงกลมหน่วยยังใช้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานและอสมการ (พิจารณาตำแหน่ง "x" ที่แตกต่างกัน)

ขั้นตอน

1. 1 แนวคิดของการแก้สมการตรีโกณมิติ
   • ในการแก้สมการตรีโกณมิติ ให้แปลงเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานตั้งแต่หนึ่งสมการขึ้นไป การแก้สมการตรีโกณมิติในที่สุดก็ลงไปแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสี่สมการ
2. 2 การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
   • สมการตรีโกณมิติพื้นฐานมี 4 ประเภท:
   • บาป x = a; cos x = a
   • tg x = ก; ctg x = a
   • การแก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานเกี่ยวข้องกับการดูตำแหน่ง x ต่างๆ บนวงกลมหน่วยและใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข)
   • ตัวอย่าง 1.sin x = 0.866 โดยใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = π / 3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอื่น: 2π / 3 ข้อควรจำ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น คาบของ sin x และ cos x คือ 2πn และคาบของ tg x และ ctg x คือ πn ดังนั้น คำตอบจึงเขียนไว้ดังนี้
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn
   • ตัวอย่าง 2.cos x = -1/2 โดยใช้ตารางการแปลง (หรือเครื่องคิดเลข) คุณจะได้คำตอบ: x = 2π / 3 วงกลมหน่วยให้คำตอบอื่น: -2π / 3
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • ตัวอย่าง 3.tg (x - π / 4) = 0
   • คำตอบ: x = π / 4 + πn
   • ตัวอย่างที่ 4 ctg 2x = 1.732
   • คำตอบ: x = π / 12 + πn
3. 3 การแปลงที่ใช้ในการแก้สมการตรีโกณมิติ
   • ในการแปลงสมการตรีโกณมิติ การแปลงเชิงพีชคณิต (การแยกตัวประกอบ การลดลงของพจน์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ฯลฯ) และอัตลักษณ์ตรีโกณมิติถูกนำมาใช้
   • ตัวอย่างที่ 5. การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ สมการ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 จะถูกแปลงเป็นสมการ 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 ดังนั้น คุณต้อง แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานดังต่อไปนี้ cos x = 0; บาป (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0
     
     
4. 4 การหามุมจากค่าที่ทราบของฟังก์ชัน
   • ก่อนเรียนรู้วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องเรียนรู้วิธีหามุมจากค่าฟังก์ชันที่ทราบ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ตารางการแปลงหรือเครื่องคิดเลข
   • ตัวอย่าง: cos x = 0.732 เครื่องคิดเลขจะให้คำตอบ x = 42.95 องศา วงกลมหน่วยจะให้มุมเพิ่มเติม ซึ่งโคไซน์ของมันคือ 0.732 ด้วย
5. 5 วางสารละลายไว้บนวงกลมหน่วย
   • คุณสามารถเลื่อนคำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหน่วยได้ คำตอบของสมการตรีโกณมิติบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ
   • ตัวอย่าง: คำตอบ x = π / 3 + πn / 2 บนวงกลมหนึ่งหน่วยคือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
   • ตัวอย่าง: คำตอบ x = π / 4 + πn / 3 บนวงกลมหน่วยแสดงถึงจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมปกติ
6. 6 วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
   • ถ้าสมการตรีโกณฯ ที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณฯ เพียงอย่างเดียว ให้แก้สมการนั้นเป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐานหากสมการที่กำหนดมีฟังก์ชันตรีโกณมิติตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป แสดงว่ามี 2 วิธีในการแก้สมการดังกล่าว (ขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ของการแปลง)
     • วิธีที่ 1
   • แปลงสมการนี้เป็นสมการของรูปแบบ: f (x) * g (x) * h (x) = 0 โดยที่ f (x), g (x), h (x) เป็นสมการตรีโกณมิติพื้นฐาน
     
     
   • ตัวอย่าง 6.2cos x + บาป 2x = 0 (0 x 2π)
   • วิธีการแก้. ใช้สูตรมุมสองเท่า sin 2x = 2 * sin x * cos x แทนที่ sin 2x
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0 ทีนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos x = 0 และ (sin x + 1) = 0
   • ตัวอย่าง 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0 (0 x 2π)
   • วิธีแก้ไข: ใช้ข้อมูลเฉพาะทางตรีโกณมิติ เปลี่ยนสมการนี้เป็นสมการของรูปแบบ: cos 2x (2cos x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2cos x + 1) = 0
   • ตัวอย่าง 8.sin x - sin 3x = cos 2x (0 x 2π)
   • วิธีแก้ไข: ใช้ข้อมูลเฉพาะทางตรีโกณมิติ แปลงสมการนี้เป็นสมการของรูปแบบ: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0 ตอนนี้แก้สมการตรีโกณมิติพื้นฐานสองสมการ: cos 2x = 0 และ (2sin x + 1) = 0.
     • วิธีที่ 2
   • แปลงสมการตรีโกณมิติที่กำหนดให้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว จากนั้นแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ด้วยค่าที่ไม่รู้จัก เช่น t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t เป็นต้น)
   • ตัวอย่าง 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π)
   • วิธีการแก้. ในสมการนี้ แทนที่ (cos ^ 2 x) ด้วย (1 - sin ^ 2 x) (ตามเอกลักษณ์) สมการที่แปลงแล้วคือ:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0 แทนที่ sin x ด้วย t สมการตอนนี้มีลักษณะดังนี้: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0 นี่คือสมการกำลังสองที่มีรากที่สอง: t1 = -1 และ t2 = 9/5 รากที่สอง t2 ไม่เป็นไปตามช่วงของค่าของฟังก์ชัน (-1 บาป x 1) ตอนนี้ตัดสินใจ: t = บาป x = -1; x = 3π / 2
   • ตัวอย่าง 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • วิธีการแก้. แทนที่ tg x ด้วย t เขียนสมการเดิมใหม่ดังนี้ (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0 ตอนนี้หา t แล้วหา x สำหรับ t = tg x
7. 7 สมการตรีโกณมิติพิเศษ
   • มีสมการตรีโกณมิติพิเศษหลายสมการที่ต้องการการแปลงเฉพาะ ตัวอย่าง:
   • a * บาป x + b * cos x = c; a (บาป x + cos x) + b * cos x * บาป x = c;
   • a * บาป ^ 2 x + b * บาป x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 ความเป็นคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
   • ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นคาบ กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะซ้ำกันหลังจากช่วงเวลาหนึ่ง ตัวอย่าง:
     • คาบของฟังก์ชัน f (x) = sin x คือ 2π
     • คาบของฟังก์ชัน f (x) = tan x เท่ากับ π
     • คาบของฟังก์ชัน f (x) = บาป 2x คือ π
     • คาบของฟังก์ชัน f (x) = cos (x / 2) คือ 4π
   • หากระบุระยะเวลาไว้ในปัญหา ให้คำนวณค่า "x" ภายในช่วงเวลานี้
   • หมายเหตุ: การแก้สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องง่าย และมักนำไปสู่ข้อผิดพลาด ดังนั้นตรวจสอบคำตอบของคุณอย่างระมัดระวัง ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้เครื่องคำนวณกราฟเพื่อพล็อตสมการที่กำหนด R (x) = 0 ได้ ในกรณีดังกล่าว คำตอบจะถูกนำเสนอเป็นเศษส่วนทศนิยม (นั่นคือ π จะถูกแทนที่ด้วย 3.14)