เนื้อหา

• ขั้นตอน
• ส่วนที่ 1 ของ 4: วิธีการเขียนสมการ
• ส่วนที่ 2 จาก 4: วิธีเขียนอัลกอริทึมของยุคลิด
• ส่วนที่ 3 จาก 4: วิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด
• ส่วนที่ 4 จาก 4: ค้นหาโซลูชันอื่นๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น คุณต้องหาค่าของตัวแปร "x" และ "y" ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม โซลูชันจำนวนเต็มซับซ้อนกว่าปกติและต้องใช้ชุดการดำเนินการเฉพาะ ขั้นแรก คุณต้องคำนวณตัวหารร่วมมาก (GCD) ของสัมประสิทธิ์ก่อน แล้วจึงหาคำตอบ เมื่อคุณพบคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มหนึ่งค่าของสมการเชิงเส้นแล้ว คุณสามารถใช้รูปแบบง่ายๆ เพื่อหาคำตอบอื่นจำนวนอนันต์ได้

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1 ของ 4: วิธีการเขียนสมการ

1. 1 เขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน สมการเชิงเส้นคือสมการที่เลขชี้กำลังของตัวแปรไม่เกิน 1 ในการแก้สมการเชิงเส้นนั้น ก่อนอื่นให้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน รูปแบบมาตรฐานของสมการเชิงเส้นมีลักษณะดังนี้: ${ displaystyle ขวาน + โดย = C}$, ที่ไหน ${ displaystyle A, B}$ และ ${ displaystyle C}$ - จำนวนทั้งหมด.
   • ถ้าสมการมีอยู่ในรูปแบบอื่น ให้นำไปที่รูปแบบมาตรฐานโดยใช้การดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ให้สมการ ${ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... ให้คำที่คล้ายกันและเขียนสมการดังนี้: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 ลดความซับซ้อนของสมการ (ถ้าเป็นไปได้) เมื่อคุณเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน ให้ดูที่สัมประสิทธิ์ ${ displaystyle A, B}$ และ ${ displaystyle C}$... หากอัตราต่อรองเหล่านี้มี GCD ให้หารทั้งสามด้วยอัตราต่อรอง คำตอบของสมการแบบง่ายนั้นจะเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิมด้วย
   • ตัวอย่างเช่น ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสามเป็นคู่ ให้หารด้วยอย่างน้อย 2 ตัวอย่างเช่น
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (สมาชิกทุกคนหารด้วย 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (ตอนนี้สมาชิกทั้งหมดหารด้วย 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (สมการนี้ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป)
3. 3 ตรวจสอบว่าสามารถแก้สมการได้หรือไม่ ในบางกรณี คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าสมการไม่มีคำตอบ ถ้าสัมประสิทธิ์ "C" ไม่สามารถหารด้วย GCD ของสัมประสิทธิ์ "A" และ "B" ลงตัว สมการก็ไม่มีคำตอบ
   • ตัวอย่างเช่น ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งสอง ${ displaystyle A}$ และ ${ displaystyle B}$ เท่ากัน แล้วสัมประสิทธิ์ ${ displaystyle C}$ จะต้องเท่ากัน แต่ถ้า ${ displaystyle C}$ แปลกแล้วไม่มีวิธีแก้ปัญหา
     • สมการ ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม
     • สมการ ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากด้านซ้ายของสมการหารด้วย 5 ลงตัว และด้านขวาหารไม่ได้

ส่วนที่ 2 จาก 4: วิธีเขียนอัลกอริทึมของยุคลิด

1. 1 ทำความเข้าใจอัลกอริทึมของ Euclid มันคือชุดของการหารซ้ำๆ ซึ่งเศษก่อนหน้าถูกใช้เป็นตัวหารถัดไป ตัวหารสุดท้ายที่หารตัวเลขแบบอินทิกรัลคือตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขสองตัว
   • ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 272 และ 36 โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - หารจำนวนที่มากกว่า (272) ด้วยจำนวนที่น้อยกว่า (36) และให้ความสนใจกับส่วนที่เหลือ (20)
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - หารตัวหารก่อนหน้า (36) ด้วยเศษที่เหลือ (20) สังเกตสิ่งตกค้างใหม่ (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - หารตัวหารก่อนหน้า (20) ด้วยเศษที่เหลือ (16) สังเกตสิ่งตกค้างใหม่ (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - หารตัวหารก่อนหน้า (16) ด้วยเศษที่เหลือ (4) เนื่องจากส่วนที่เหลือเป็น 0 เราสามารถพูดได้ว่า 4 คือ GCD ของตัวเลขสองตัวดั้งเดิม 272 และ 36
2. 2 ใช้อัลกอริทึมของยุคลิดกับสัมประสิทธิ์ "A" และ "B" เมื่อคุณเขียนสมการเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐาน ให้หาสัมประสิทธิ์ "A" และ "B" จากนั้นใช้อัลกอริทึมของยุคลิดกับพวกมันเพื่อค้นหา GCD ตัวอย่างเช่น ให้สมการเชิงเส้น ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • นี่คืออัลกอริทึมของ Euclid สำหรับสัมประสิทธิ์ A = 87 และ B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 ค้นหาปัจจัยร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCD) เนื่องจากตัวหารสุดท้ายคือ 1 GCD 87 และ 64 คือ 1 ดังนั้น 87 และ 64 เป็นจำนวนเฉพาะที่สัมพันธ์กัน
4. 4 วิเคราะห์ผลลัพธ์ เมื่อคุณพบสัมประสิทธิ์ gcd ${ displaystyle A}$ และ ${ displaystyle B}$, เปรียบเทียบกับสัมประสิทธิ์ ${ displaystyle C}$ สมการเดิม ถ้า ${ displaystyle C}$ หารด้วย gcd ${ displaystyle A}$ และ ${ displaystyle B}$สมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม มิฉะนั้นสมการจะไม่มีคำตอบ
   • ตัวอย่างเช่น สมการ ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ แก้ได้เพราะ 3 หารด้วย 1 ลงตัว (gcd = 1)
   • ตัวอย่างเช่น สมมติว่า GCD = 5 3 หารด้วย 5 ไม่ลงตัว, ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม
   • ดังที่แสดงด้านล่าง หากสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหนึ่งตัว มันก็จะมีคำตอบจำนวนเต็มอื่น ๆ เป็นอนันต์

ส่วนที่ 3 จาก 4: วิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริทึมของยุคลิด

1. 1 นับขั้นตอนในการคำนวณ GCD ในการหาคำตอบของสมการเชิงเส้น คุณต้องใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิดเป็นพื้นฐานสำหรับกระบวนการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่าย
   • เริ่มต้นด้วยการนับขั้นตอนในการคำนวณ GCD กระบวนการคำนวณมีลักษณะดังนี้:
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {ขั้นตอนที่ 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 ให้ความสนใจกับขั้นตอนสุดท้ายที่มีส่วนที่เหลือ เขียนสมการใหม่สำหรับขั้นตอนนี้เพื่อแยกเศษที่เหลือออก
   • ในตัวอย่างของเรา ขั้นตอนสุดท้ายที่มีเศษเหลือคือขั้นตอนที่ 6 ส่วนที่เหลือคือ 1 เขียนสมการใหม่ในขั้นตอนที่ 6 ดังนี้
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 แยกส่วนที่เหลือของขั้นตอนก่อนหน้า กระบวนการนี้เป็นขั้นตอน "เลื่อนขึ้น" แต่ละครั้ง คุณจะแยกส่วนที่เหลือในสมการในขั้นตอนก่อนหน้า
   • แยกส่วนที่เหลือของสมการในขั้นตอนที่ 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ หรือ ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 แทนที่และทำให้ง่ายขึ้น สังเกตว่าสมการในขั้นตอนที่ 6 มีหมายเลข 2 และในสมการในขั้นตอนที่ 5 หมายเลข 2 จะถูกแยกออก ดังนั้นแทนที่จะใช้ “2” ในสมการในขั้นตอนที่ 6 ให้แทนที่นิพจน์ในขั้นตอนที่ 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (สมการของขั้นตอนที่ 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (แทนที่จะเป็น 2 นิพจน์ถูกแทนที่)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (วงเล็บเปิด)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (ตัวย่อ)
5. 5 ทำซ้ำขั้นตอนการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่าย ทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ โดยเลื่อนไปตามอัลกอริทึมแบบยุคลิดในลำดับที่กลับกัน แต่ละครั้ง คุณจะเขียนสมการใหม่จากขั้นตอนก่อนหน้าและรวมเข้ากับสมการสุดท้ายที่คุณได้รับ
   • ขั้นตอนสุดท้ายที่เราดูคือขั้นตอนที่ 5 ดังนั้นไปที่ขั้นตอนที่ 4 และแยกส่วนที่เหลือในสมการสำหรับขั้นตอนนั้น:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • แทนที่นิพจน์นี้สำหรับ "3" ในสมการสุดท้าย:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 ดำเนินการต่อด้วยกระบวนการทดแทนและการทำให้เข้าใจง่าย กระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าคุณจะไปถึงขั้นตอนเริ่มต้นของอัลกอริทึมแบบยุคลิด เป้าหมายของกระบวนการคือการเขียนสมการด้วยสัมประสิทธิ์ 87 และ 64 ของสมการเดิมที่จะแก้ ในตัวอย่างของเรา:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (แทนที่นิพจน์จากขั้นตอนที่ 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (แทนที่นิพจน์จากขั้นตอนที่ 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (แทนที่นิพจน์จากขั้นตอนที่ 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 เขียนสมการผลลัพธ์ใหม่ตามสัมประสิทธิ์เดิม เมื่อคุณกลับไปที่ขั้นตอนแรกของอัลกอริธึมแบบยุคลิด คุณจะเห็นว่าสมการที่ได้นั้นมีค่าสัมประสิทธิ์ของสมการดั้งเดิมสองตัว เขียนสมการใหม่เพื่อให้ลำดับของพจน์ตรงกับสัมประสิทธิ์ของสมการเดิม
   • ในตัวอย่างของเรา สมการดั้งเดิม ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... ดังนั้น ให้เขียนสมการผลลัพธ์ใหม่เพื่อให้สัมประสิทธิ์เข้าเส้นให้ความสนใจเป็นพิเศษกับค่าสัมประสิทธิ์ "64" ในสมการเดิม สัมประสิทธิ์นี้เป็นค่าลบ และในอัลกอริธึมแบบยุคลิดมีค่าเป็นบวก ดังนั้นตัวประกอบ 34 จะต้องทำให้เป็นลบ สมการสุดท้ายจะถูกเขียนดังนี้:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 ใช้ตัวคูณที่เหมาะสมเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา โปรดทราบว่าในตัวอย่างของเรา GCD = 1 ดังนั้นสมการสุดท้ายคือ 1 แต่สมการดั้งเดิม (87x-64y) คือ 3 ดังนั้น พจน์ทั้งหมดในสมการสุดท้ายต้องคูณด้วย 3 เพื่อให้ได้คำตอบ:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 เขียนคำตอบจำนวนเต็มลงในสมการ ตัวเลขที่คูณด้วยสัมประสิทธิ์ของสมการเดิมคือคำตอบของสมการนั้น
   • ในตัวอย่างของเรา ให้เขียนคำตอบเป็นคู่พิกัด: ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.

ส่วนที่ 4 จาก 4: ค้นหาโซลูชันอื่นๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

1. 1 เข้าใจว่ามีวิธีแก้ปัญหามากมาย ถ้าสมการเชิงเส้นมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มหนึ่งตัว มันก็ต้องมีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเป็นอนันต์ นี่เป็นข้อพิสูจน์อย่างรวดเร็ว (ในรูปแบบพีชคณิต):
   • ${ displaystyle ขวาน + โดย = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (หากคุณเพิ่ม "B" เป็น "x" และลบ "A" ออกจาก "y" ค่าของสมการเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลง)
2. 2 บันทึกค่า x และ y ดั้งเดิม เทมเพลตสำหรับการคำนวณโซลูชันถัดไป (ไม่จำกัด) เริ่มต้นด้วยโซลูชันเดียวที่คุณพบแล้ว
   • ในตัวอย่างของเรา คำตอบคือคู่พิกัด ${ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}$.
3. 3 เพิ่มปัจจัย "B" ให้กับค่า "x" ทำเช่นนี้เพื่อค้นหาค่า x ใหม่
   • ในตัวอย่างของเรา x = -75 และ B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • ดังนั้น ค่าใหม่ "x": x = -139
4. 4 ลบตัวประกอบ "A" ออกจากค่า "y" เพื่อไม่ให้ค่าของสมการเดิมเปลี่ยนแปลง เมื่อบวกตัวเลขหนึ่งเข้ากับ "x" คุณต้องลบตัวเลขอื่นออกจาก "y"
   • ในตัวอย่างของเรา y = -102 และ A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • ดังนั้น ค่าใหม่สำหรับ "y": y = -189
   • พิกัดคู่ใหม่จะถูกเขียนดังนี้: ${ displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}$.
5. 5 ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา หากต้องการตรวจสอบว่าพิกัดคู่ใหม่เป็นคำตอบของสมการเดิม ให้แทนค่าลงในสมการ
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • เนื่องจากเป็นไปตามความเท่าเทียมกันการตัดสินใจจึงถูกต้อง
6. 6 เขียนนิพจน์เพื่อค้นหาคำตอบมากมาย ค่า "x" จะเท่ากับคำตอบเดิมบวกกับตัวคูณ "B" ใดๆ ก็ตาม สามารถเขียนได้เป็นนิพจน์ต่อไปนี้:
   • x (k) = x + k (B) โดยที่ “x (k)” คือชุดของค่า “x” และ “x” คือค่าเดิม (แรก) ของ “x” ที่คุณพบ
     • ในตัวอย่างของเรา:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A) โดยที่ y (k) คือชุดของค่า y ​​และ y คือค่าเดิม (แรก) y ที่คุณพบ
     • ในตัวอย่างของเรา:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$