วิธีทำหลักฐานทางคณิตศาสตร์

วิดีโอ: 31 ปริศนาง่ายๆสำหรับคนที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์

เนื้อหา

ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 3: ทำความเข้าใจคำสั่งปัญหา
วิธีที่ 2 จาก 3: กำหนดหลักฐาน
วิธีที่ 3 จาก 3: เขียนหลักฐาน
เคล็ดลับ

การหาข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อาจเป็นงานที่น่ากลัว แต่การรู้คณิตศาสตร์และการเขียนหลักฐานจะช่วยคุณได้ น่าเสียดายที่ไม่มีวิธีการที่รวดเร็วและง่ายดายในการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จำเป็นต้องศึกษาหัวข้ออย่างถูกต้องและจดจำทฤษฎีบทพื้นฐานและคำจำกัดความที่จะเป็นประโยชน์กับคุณเมื่อพิสูจน์สมมติฐานทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ ศึกษาตัวอย่างการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และฝึกฝนตนเองเพื่อช่วยให้คุณพัฒนาทักษะ

ขั้นตอน

วิธีที่ 1 จาก 3: ทำความเข้าใจคำสั่งปัญหา

1 กำหนดสิ่งที่คุณต้องการค้นหา ขั้นตอนแรกคือการหาว่าต้องพิสูจน์อะไรกันแน่ เหนือสิ่งอื่นใด สิ่งนี้จะกำหนดคำสั่งสุดท้ายในหลักฐานของคุณ ในขั้นตอนนี้ คุณควรตั้งสมมติฐานบางอย่างในสิ่งที่คุณจะดำเนินการด้วย เพื่อให้เข้าใจปัญหาได้ดีขึ้นและเริ่มแก้ไข ให้ค้นหาสิ่งที่คุณต้องพิสูจน์และตั้งสมมติฐานที่จำเป็น
2 วาดรูป. เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ บางครั้งการพรรณนาปัญหาเหล่านั้นเป็นรูปภาพหรือแผนภาพก็มีประโยชน์ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในกรณีของปัญหาทางเรขาคณิต - การวาดภาพช่วยให้เห็นภาพสภาพและอำนวยความสะดวกในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาอย่างมาก
- เมื่อสร้างรูปภาพหรือไดอะแกรม ให้ใช้ข้อมูลที่ให้ไว้ในเงื่อนไข ทำเครื่องหมายปริมาณที่รู้จักและไม่รู้จักในรูป
- ภาพวาดจะทำให้คุณค้นหาหลักฐานได้ง่ายขึ้น
3 ศึกษาหลักฐานของทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกัน หากคุณไม่พบวิธีแก้ปัญหาในทันที ให้ค้นหาทฤษฎีบทที่คล้ายกันและดูว่าได้รับการพิสูจน์อย่างไร
- โปรดทราบว่าคุณต้องให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนของการพิสูจน์ ดูว่าทฤษฎีบทต่างๆ ได้รับการพิสูจน์บนอินเทอร์เน็ตหรือในตำราคณิตศาสตร์อย่างไร
4 ถามคำถาม. ไม่เป็นไรหากคุณไม่สามารถหาหลักฐานได้ทันทีหากคุณไม่ชัดเจนเกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่าง ให้ถามครูหรือเพื่อนร่วมชั้นเกี่ยวกับเรื่องนี้ บางทีสหายของคุณอาจมีคำถามเดียวกันและคุณสามารถแยกแยะได้ ถามคำถามสองสามข้อดีกว่าพยายามค้นหาหลักฐานไม่สำเร็จซ้ำแล้วซ้ำอีก
- ไปหาครูหลังเลิกเรียนและค้นหาคำถามที่ไม่ชัดเจน

วิธีที่ 2 จาก 3: กำหนดหลักฐาน

1 กำหนดข้อพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ หลักฐานทางคณิตศาสตร์คือลำดับของข้อความที่สนับสนุนโดยทฤษฎีบทและคำจำกัดความที่พิสูจน์สมมติฐานทางคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เป็นวิธีเดียวที่จะตัดสินว่าคำสั่งนั้นถูกต้องทางคณิตศาสตร์หรือไม่
- ความสามารถในการเขียนหลักฐานทางคณิตศาสตร์เป็นเครื่องยืนยันถึงความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในปัญหาและความเชี่ยวชาญของเครื่องมือที่จำเป็น (บทแทรก ทฤษฎีบท และคำจำกัดความ)
- การพิสูจน์ที่เข้มงวดสามารถช่วยให้คุณมองคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ และสัมผัสได้ถึงเสน่ห์ของคณิตศาสตร์ เพียงแค่พยายามพิสูจน์ข้อความเพื่อให้ได้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีการทางคณิตศาสตร์
2 พิจารณาผู้ชมของคุณ ก่อนที่คุณจะเริ่มบันทึกหลักฐาน คุณควรคิดว่ามีไว้เพื่อใครและคำนึงถึงระดับความรู้ของคนเหล่านี้ด้วย ถ้าคุณเขียนหลักฐานสำหรับการตีพิมพ์เพิ่มเติมในวารสารทางวิทยาศาสตร์ มันจะแตกต่างจากเมื่อคุณทำการบ้านที่โรงเรียน
- การรู้จักกลุ่มเป้าหมายจะช่วยให้คุณจดหลักฐานในขณะที่ฝึกให้ผู้อ่านเข้าใจ
3 กำหนดประเภทของหลักฐาน การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีหลายประเภท และการเลือกรูปแบบเฉพาะขึ้นอยู่กับกลุ่มเป้าหมายและปัญหาที่กำลังแก้ไข หากคุณไม่แน่ใจว่าจะเลือกสายพันธุ์ใด ให้ตรวจสอบกับครูของคุณ ในโรงเรียนมัธยมต้องมีการพิสูจน์สองคอลัมน์
- เมื่อเขียนหลักฐานเป็นสองคอลัมน์ คอลัมน์แรกบันทึกข้อมูลและข้อความเบื้องต้น และคอลัมน์ที่สอง - หลักฐานที่เกี่ยวข้องของข้อความเหล่านี้ สัญกรณ์รูปแบบนี้มักใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต
- ในรูปแบบที่เป็นทางการน้อยกว่าในการเขียนหลักฐาน จะมีการใช้โครงสร้างที่ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์และสัญลักษณ์น้อยลง ในระดับที่สูงขึ้น นี่คือสัญกรณ์ที่ควรใช้
4 ร่างการพิสูจน์ในสองคอลัมน์ แบบฟอร์มนี้ช่วยในการจัดระเบียบความคิดและแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง แบ่งหน้าครึ่งด้วยเส้นแนวตั้ง และเขียนข้อมูลต้นฉบับของคุณและข้อความที่ตามมาทางด้านซ้าย เขียนคำจำกัดความและทฤษฎีที่เกี่ยวข้องทางด้านขวาของแต่ละข้อความ
- ตัวอย่างเช่น:
- มุม A และ B อยู่ติดกัน - กำหนด;
- มุม ABC ถูกทำให้แบน - กำหนดมุมที่แบนราบ
- มุม ABC คือ 180 ° - กำหนดเส้นตรง
- มุม A + มุม B = มุม ABC - กฎสำหรับการเพิ่มมุม
- มุม A + มุม B = 180 ° - การแทนที่;
- มุม A ประกอบกับมุม B - คำจำกัดความของมุมเพิ่มเติม
- คิวอีดี
5 เขียนหลักฐานสองคอลัมน์เป็นหลักฐานที่ไม่เป็นทางการ ใช้รายการแบบสองคอลัมน์เป็นพื้นฐานและเขียนการพิสูจน์ในรูปแบบที่สั้นกว่าโดยใช้สัญลักษณ์และตัวย่อน้อยกว่า
- ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามุม A และ B อยู่ติดกัน ตามสมมติฐาน มุมเหล่านี้เสริมซึ่งกันและกัน เมื่ออยู่ติดกัน มุม A และมุม B จะสร้างเส้นตรง ถ้าด้านข้างของมุมเป็นเส้นตรง มุมจะเท่ากับ 180 ° เพิ่มมุม A และ B เพื่อสร้างเส้นตรง ABC ดังนั้นผลรวมของมุม A และ B คือ 180 ° นั่นคือมุมเหล่านี้ประกอบกัน คิวอีดี

วิธีที่ 3 จาก 3: เขียนหลักฐาน

1 เรียนรู้ภาษาของหลักฐาน ประโยคมาตรฐานและวลีที่ใช้เขียนการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ คุณต้องเรียนรู้วลีเหล่านี้และรู้วิธีใช้
- วลี "ถ้า A แล้ว B" หมายความว่าหากข้อความ A เป็นจริง ข้อความ B จะต้องเป็นจริงด้วย
- “A if and only if B” หมายความว่าข้อความ A และ B เป็นจริงหรือเท็จในเวลาเดียวกัน โครงสร้างนี้เทียบเท่ากับสองข้อความพร้อมกัน: "ถ้า A แล้ว B" และ "ถ้า A ล้มเหลว B จะไม่ถือ"
- “A ก็ต่อเมื่อ B” เทียบเท่ากับ “ถ้า B แล้ว A” ดังนั้นโครงสร้างนี้จึงไม่ธรรมดา อย่างไรก็ตามจำเป็นต้องจำไว้
- เวลาบันทึกหลักฐาน พยายามใช้ “เรา” แทนสรรพนามส่วนตัว “ฉัน”
2 เขียนข้อมูลต้นฉบับทั้งหมด เมื่อรวบรวมหลักฐาน สิ่งแรกที่ต้องทำคือกำหนดและเขียนทุกอย่างที่ให้ไว้ในปัญหา ในกรณีนี้คุณจะมีข้อมูลเบื้องต้นทั้งหมดต่อหน้าต่อตาคุณโดยพิจารณาจากความจำเป็นในการตัดสินใจ อ่านคำชี้แจงปัญหาอย่างละเอียดและจดทุกอย่างที่ให้มา
- ตัวอย่างเช่น พิสูจน์ว่ามุมที่อยู่ติดกันสองมุม (มุม A และมุม B) ประกอบกัน
- ให้: มุมที่อยู่ติดกัน A และ B
- พิสูจน์: มุม A ประกอบกับมุม B
3 กำหนดตัวแปรทั้งหมด นอกจากการบันทึกข้อมูลต้นฉบับแล้ว ยังมีประโยชน์ในการเขียนตัวแปรที่เหลือด้วย เพื่อให้ผู้อ่านง่ายขึ้น ให้เขียนตัวแปรที่จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์ หากไม่มีการกำหนดตัวแปร ผู้อ่านอาจสับสนและไม่เข้าใจหลักฐานของคุณ
- อย่าใช้ตัวแปรที่ไม่ได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ในระหว่างการพิสูจน์
- ตัวอย่างเช่น ในปัญหาที่พิจารณาข้างต้น ตัวแปรคือค่าของมุม A และ B
4 พยายามหาหลักฐานในลำดับที่กลับกัน ปัญหาหลายอย่างแก้ไขได้ง่ายกว่าในลำดับที่กลับกัน เริ่มต้นด้วยสิ่งที่คุณต้องพิสูจน์และคิดว่าคุณจะเชื่อมโยงข้อสรุปกับเงื่อนไขเริ่มต้นได้อย่างไร
- อ่านขั้นตอนเริ่มต้นและสิ้นสุดอีกครั้งและดูว่ามีความคล้ายคลึงกันหรือไม่ เมื่อทำเช่นนี้ ให้ใช้เงื่อนไขเริ่มต้น คำจำกัดความ และข้อพิสูจน์ที่คล้ายคลึงกันจากปัญหาอื่นๆ
- ถามคำถามตัวเองและก้าวไปข้างหน้า เพื่อพิสูจน์ข้อความส่วนตัว ให้ถามตัวเองว่า "ทำไมถึงเป็นเช่นนี้" - และ: "มันจะผิดไหม"
- อย่าลืมจดแต่ละขั้นตอนตามลำดับจนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย
- ตัวอย่างเช่น ถ้ามุม A และ B ประกอบกัน ผลรวมควรเป็น 180 ° ตามคำจำกัดความของมุมประชิด มุม A และ B จะสร้างเส้นตรง ABC เนื่องจากเส้นสร้างมุม 180 ° มุม A และ B จึงรวมกันได้ 180 °
5 จัดขั้นตอนแต่ละขั้นตอนของการพิสูจน์เพื่อให้สอดคล้องและมีเหตุผล เริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและพยายามทำวิทยานิพนธ์ที่พิสูจน์ได้ แม้ว่าบางครั้งการเริ่มต้นค้นหาหลักฐานในช่วงท้ายจะเป็นประโยชน์ แต่คุณต้องทำตามลำดับที่ถูกต้องเมื่อเขียน วิทยานิพนธ์ที่แยกจากกันควรติดตามกันเพื่อให้การพิสูจน์มีเหตุผลและไม่ก่อให้เกิดข้อสงสัย
- ขั้นแรก พิจารณาสมมติฐานที่ตั้งขึ้น
- ยืนยันข้อความที่ทำด้วยขั้นตอนที่ง่ายและตรงไปตรงมาเพื่อให้ผู้อ่านไม่สงสัยในความถูกต้อง
- บางครั้งคุณต้องเขียนหลักฐานใหม่มากกว่าหนึ่งครั้ง จัดกลุ่มข้อความและหลักฐานต่อไปจนกว่าคุณจะได้โครงสร้างที่สมเหตุสมผลที่สุด
- ตัวอย่างเช่น มาเริ่มกันตั้งแต่ต้น
  - มุม A และ B อยู่ติดกัน
  - ด้านข้างของมุม ABC เป็นเส้นตรง
  - มุม ABC คือ 180 °
  - มุม A + มุม B = มุม ABC
  - มุม A + มุม B = มุม 180 °
  - มุม A ประกอบกับมุม B
6 อย่าใช้ลูกศรและตัวย่อในการพิสูจน์ ตัวย่อและสัญลักษณ์ต่างๆ สามารถใช้ในฉบับร่างได้ แต่อย่ารวมไว้ในฉบับร่างสุดท้าย เนื่องจากอาจทำให้ผู้อ่านสับสน ใช้คำเช่น "ดังนั้น" และ "แล้ว" แทน
- เป็นข้อยกเว้น อนุญาตให้ใช้ตัวย่อที่เข้าใจได้ ตัวอย่างเช่น “ie. อี " (กล่าวคือ) อย่างไรก็ตาม ใช้ให้เหมาะสม
7 สนับสนุนวิทยานิพนธ์แต่ละเรื่องด้วยทฤษฎีบท กฎหมาย หรือคำจำกัดความ หลักฐานต้องไม่มีที่ติ คุณไม่สามารถสร้างข้อความที่ไม่มีเงื่อนไขได้ ดูวิธีการสร้างหลักฐานสำหรับปัญหาที่คล้ายกับของคุณ
- ลองนำหลักฐานที่คุณพบมาใช้กับกรณีที่ไม่ควรเป็นความจริงและดูว่าจริงหรือไม่ หากหลักฐานถูกต้องในกรณีดังกล่าว ให้ตรวจสอบว่าคุณทำผิดตรงไหน
- การพิสูจน์ปัญหาทางเรขาคณิตมักเขียนเป็นสองคอลัมน์ การยืนยันถูกเขียนไว้ทางด้านขวา และหลักฐานแสดงไว้ทางด้านซ้าย ในเวลาเดียวกัน ในสิ่งพิมพ์ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์จะถูกวาดขึ้นในรูปแบบของย่อหน้าด้วยไวยากรณ์ที่เหมาะสม
8 จบการพิสูจน์ด้วยวลี “ตามความจำเป็นในการพิสูจน์” ในตอนท้ายของการพิสูจน์จะต้องมีวิทยานิพนธ์ที่พิสูจน์ได้ หลังจากนั้น คุณควรเขียนว่า "สิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์" (ย่อมาจาก "h. Etc." หรือสัญลักษณ์ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เติมสี) - นี่หมายความว่าการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์
- ในภาษาละติน วลี “สิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์” สอดคล้องกับตัวย่อ Q.E.D. (quod erat demonstrandumนั่นคือ “สิ่งที่ต้องแสดง”)
- หากคุณมีข้อสงสัยเกี่ยวกับความถูกต้องของหลักฐาน ให้เขียนสองสามวลีเกี่ยวกับข้อสรุปที่คุณได้มาและเหตุใดจึงสำคัญ