เนื้อหา

• ที่จะก้าว
• ส่วนที่ 1 ของ 4: การวาดเมทริกซ์
• ส่วนที่ 2 จาก 4: เรียนรู้การดำเนินการสำหรับการแก้ระบบด้วยเมทริกซ์
• ส่วนที่ 3 ของ 4: รวมขั้นตอนเพื่อแก้ปัญหากาแล็กซี่
• ส่วนที่ 4 จาก 4: ตรวจสอบโซลูชันของคุณ
• เคล็ดลับ

เมทริกซ์เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากในการแสดงตัวเลขในรูปแบบบล็อกซึ่งคุณสามารถใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้ หากคุณมีเพียงสองตัวแปรคุณอาจใช้วิธีการอื่น อ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ในการแก้ระบบสมการสำหรับตัวอย่างของวิธีการอื่น ๆ เหล่านี้ แต่ถ้าคุณมีตัวแปรตั้งแต่สามตัวขึ้นไปอาร์เรย์ก็เหมาะอย่างยิ่ง ด้วยการใช้การรวมกันของการคูณและการบวกซ้ำ ๆ กันคุณจะสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้อย่างเป็นระบบ

ที่จะก้าว

ส่วนที่ 1 ของ 4: การวาดเมทริกซ์

1. ตรวจสอบว่าคุณมีข้อมูลเพียงพอ เพื่อให้ได้คำตอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับทุกตัวแปรในระบบเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์คุณต้องมีสมการให้มากที่สุดเท่าจำนวนตัวแปรที่คุณพยายามจะแก้ ตัวอย่างเช่นด้วยตัวแปร x, y และ z คุณต้องมีสมการสามสมการ หากคุณมีตัวแปรสี่ตัวคุณต้องมีสมการสี่สมการ
   • หากคุณมีสมการน้อยกว่าจำนวนตัวแปรคุณจะพบขอบเขตบางส่วนของตัวแปร (เช่น x = 3y และ y = 2z) แต่คุณไม่สามารถหาคำตอบที่แม่นยำได้ สำหรับบทความนี้เราจะดำเนินการแก้ไขปัญหาเฉพาะเท่านั้น
2. เขียนสมการของคุณในรูปแบบมาตรฐาน ก่อนที่คุณจะสามารถใส่ข้อมูลจากสมการในรูปแบบเมทริกซ์ได้คุณต้องเขียนสมการแต่ละสมการในรูปแบบมาตรฐานก่อน รูปแบบมาตรฐานสำหรับสมการเชิงเส้นคือ Ax + By + Cz = D โดยที่ตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่คือสัมประสิทธิ์ (ตัวเลข) และตัวเลขสุดท้าย (D ในตัวอย่างนี้) อยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
   • หากคุณมีตัวแปรมากกว่านี้ให้ทำต่อไปตราบเท่าที่คุณต้องการ ตัวอย่างเช่นหากคุณพยายามแก้ระบบที่มีตัวแปรหกตัวรูปร่างเริ่มต้นของคุณจะมีลักษณะเป็น Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G ในบทความนี้เราจะเน้นไปที่ระบบที่มีตัวแปรเพียงสามตัว การแก้ปัญหากาแล็กซี่ที่ใหญ่ขึ้นนั้นเหมือนกันทุกประการ แต่ต้องใช้เวลาและขั้นตอนมากขึ้น
   • โปรดทราบว่าในรูปแบบมาตรฐานการดำเนินการระหว่างข้อกำหนดจะเป็นการเพิ่มเติมเสมอ หากมีการลบในสมการของคุณแทนที่จะเป็นการบวกคุณจะต้องดำเนินการกับสิ่งนี้ในภายหลังโดยทำให้สัมประสิทธิ์ของคุณเป็นลบ เพื่อให้ง่ายต่อการจดจำคุณสามารถเขียนสมการใหม่และเพิ่มการดำเนินการและทำให้ค่าสัมประสิทธิ์เป็นลบ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถเขียนสมการใหม่ 3x-2y + 4z = 1 เป็น 3x + (- 2y) + 4z = 1
3. วางตัวเลขจากระบบสมการในเมทริกซ์ เมทริกซ์คือกลุ่มของตัวเลขที่จัดอยู่ในตารางชนิดหนึ่งซึ่งเราจะทำงานเพื่อแก้ปัญหาระบบ โดยพื้นฐานแล้วจะมีข้อมูลเดียวกันกับสมการ แต่อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่า ในการสร้างเมทริกซ์ของสมการของคุณในรูปแบบมาตรฐานเพียงแค่คัดลอกค่าสัมประสิทธิ์และผลลัพธ์ของแต่ละสมการลงในแถวเดียวแล้วเรียงแถวเหล่านั้นซ้อนกัน
   • สมมติว่าคุณมีระบบที่ประกอบด้วยสามสมการ 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 และ x + y + z = 7 แถวบนสุดของเมทริกซ์ของคุณจะมีตัวเลข 3, 1, -1, 9 เนื่องจากเป็นค่าสัมประสิทธิ์และคำตอบของสมการแรก สังเกตว่าตัวแปรใด ๆ ที่ไม่มีสัมประสิทธิ์จะถือว่ามีค่าสัมประสิทธิ์ 1 แถวที่สองของเมทริกซ์จะกลายเป็น 2, -2, 1, -3 และแถวที่สามกลายเป็น 1, 1, 1, 7
   • ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้จัดแนวสัมประสิทธิ์ x ในคอลัมน์แรกสัมประสิทธิ์ y ในที่สองสัมประสิทธิ์ z ในที่สามและเงื่อนไขการแก้ปัญหาในคอลัมน์ที่สี่ เมื่อคุณทำงานกับเมทริกซ์เสร็จแล้วคอลัมน์เหล่านี้จะมีความสำคัญเมื่อเขียนโซลูชันของคุณ
4. วาดวงเล็บเหลี่ยมขนาดใหญ่รอบเมทริกซ์ทั้งหมดของคุณ ตามแบบแผนเมทริกซ์จะถูกระบุโดยวงเล็บเหลี่ยมคู่หนึ่ง [] รอบบล็อกตัวเลขทั้งหมด วงเล็บไม่มีผลต่อโซลูชัน แต่อย่างใด แต่ระบุว่าคุณกำลังทำงานกับเมทริกซ์ เมทริกซ์สามารถประกอบด้วยแถวและคอลัมน์จำนวนเท่าใดก็ได้ ในบทความนี้เราจะใช้วงเล็บรอบคำติดต่อกันเพื่อระบุว่าพวกมันอยู่ด้วยกัน
5. การใช้สัญลักษณ์ทั่วไป เมื่อทำงานกับเมทริกซ์เป็นเรื่องปกติที่จะอ้างถึงแถวที่มีตัวย่อ R และคอลัมน์ที่มีตัวย่อ C คุณสามารถใช้ตัวเลขร่วมกับตัวอักษรเหล่านี้เพื่อระบุแถวหรือคอลัมน์เฉพาะได้ ตัวอย่างเช่นหากต้องการระบุแถวที่ 1 ของเมทริกซ์คุณสามารถเขียน R1 แถวที่ 2 จะกลายเป็น R2
   • คุณสามารถระบุตำแหน่งเฉพาะใด ๆ ในเมทริกซ์โดยใช้การรวมกันของ R และ C ตัวอย่างเช่นในการระบุคำในแถวที่สองคอลัมน์ที่สามคุณสามารถเรียกมันว่า R2C3

ส่วนที่ 2 จาก 4: เรียนรู้การดำเนินการสำหรับการแก้ระบบด้วยเมทริกซ์

1. ทำความเข้าใจรูปร่างของเมทริกซ์โซลูชัน ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ระบบสมการคุณต้องเข้าใจว่าคุณกำลังจะทำอะไรกับเมทริกซ์ ณ จุดนี้คุณมีเมทริกซ์ที่มีลักษณะดังนี้:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • คุณทำงานกับการดำเนินการพื้นฐานหลายอย่างเพื่อสร้าง "เมทริกซ์โซลูชัน" เมทริกซ์โซลูชันจะมีลักษณะดังนี้:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 ปี
   • 0 0 1 z
   • โปรดทราบว่าเมทริกซ์ประกอบด้วย 1 ในเส้นทแยงมุมโดยมี 0 ในช่องว่างอื่น ๆ ทั้งหมดยกเว้นคอลัมน์ที่สี่ ตัวเลขในคอลัมน์ที่สี่เป็นคำตอบสำหรับตัวแปร x, y และ z
2. ใช้การคูณสเกลาร์ เครื่องมือแรกในการแก้ปัญหาระบบโดยใช้เมทริกซ์คือการคูณสเกลาร์ นี่เป็นเพียงคำที่หมายความว่าคุณคูณองค์ประกอบในแถวของเมทริกซ์ด้วยจำนวนคงที่ (ไม่ใช่ตัวแปร) เมื่อใช้การคูณสเกลาร์โปรดจำไว้ว่าคุณต้องคูณแต่ละเทอมของทั้งแถวด้วยตัวเลขที่คุณเลือก หากคุณลืมคำศัพท์แรกและเพียงแค่คูณคุณจะได้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามคุณไม่จำเป็นต้องคูณเมทริกซ์ทั้งหมดในเวลาเดียวกัน ในการคูณสเกลาร์คุณทำงานทีละแถวเท่านั้น
   • เป็นเรื่องปกติที่จะใช้เศษส่วนในการคูณสเกลาร์เพราะคุณมักต้องการได้แถวทแยงมุมเป็น 1 ชินกับการทำงานกับเศษส่วน นอกจากนี้ยังจะง่ายกว่า (สำหรับขั้นตอนส่วนใหญ่ในการแก้เมทริกซ์) เพื่อให้สามารถเขียนเศษส่วนของคุณในรูปแบบที่ไม่เหมาะสมจากนั้นแปลงกลับเป็นจำนวนคละสำหรับคำตอบสุดท้าย ดังนั้นเลข 1 2/3 จะง่ายกว่าถ้าคุณเขียนเป็น 5/3
   • ตัวอย่างเช่นแถวแรก (R1) ของปัญหาตัวอย่างของเราเริ่มต้นด้วยคำว่า [3,1, -1,9] เมทริกซ์โซลูชันต้องมี 1 ในตำแหน่งแรกของแถวแรก ในการ "เปลี่ยน" 3 เป็น 1 เราสามารถคูณทั้งแถวด้วย 1/3 สิ่งนี้จะสร้าง R1 ใหม่ของ [1,1 / 3, -1 / 3,3]
   • ตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้ทิ้งสัญญาณเชิงลบไว้ในที่ที่เป็นอยู่
3. ใช้การเพิ่มแถวหรือการลบแถว เครื่องมือที่สองที่คุณสามารถใช้คือการเพิ่มหรือลบสองแถวของเมทริกซ์ ในการสร้างคำศัพท์ 0 ในเมทริกซ์โซลูชันของคุณคุณต้องบวกหรือลบตัวเลขเพื่อไปที่ 0 ตัวอย่างเช่นถ้า R1 เป็นเมทริกซ์ [1,4,3,2] และ R2 คือ [1,3,5,8] คุณสามารถลบแถวแรกออกจากแถวที่สองและสร้างแถวใหม่ [0, -1, 2.6] เนื่องจาก 1-1 = 0 (คอลัมน์แรก), 3-4 = -1 (คอลัมน์ที่สอง), 5-3 = 2 (คอลัมน์ที่สาม) และ 8-2 = 6 (คอลัมน์ที่สี่) เมื่อทำการเพิ่มแถวหรือการลบแถวให้เขียนผลลัพธ์ใหม่แทนแถวที่คุณเริ่มต้นด้วย ในกรณีนี้เราจะแยกแถว 2 และแทรกแถวใหม่ [0, -1,2,6]
   • คุณสามารถใช้สัญกรณ์ชวเลขและประกาศการกระทำนี้เป็น R2-R1 = [0, -1,2,6]
   • จำไว้ว่าการบวกและการลบเป็นเพียงรูปแบบที่ตรงกันข้ามกับการดำเนินการเดียวกัน คิดว่าเป็นการบวกสองจำนวนหรือลบตรงกันข้าม ตัวอย่างเช่นหากคุณเริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ 3-3 = 0 คุณสามารถคิดว่านี่เป็นปัญหาการบวกของ 3 + (- 3) = 0 ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน สิ่งนี้ดูเหมือนง่าย แต่บางครั้งก็ง่ายกว่าที่จะพิจารณาปัญหาในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง เพียงแค่จับตาดูสัญญาณเชิงลบของคุณ
4. รวมการบวกแถวและการคูณสเกลาร์ในขั้นตอนเดียว คุณไม่สามารถคาดหวังว่าคำศัพท์จะตรงกันเสมอไปดังนั้นคุณสามารถใช้การบวกหรือการลบอย่างง่ายเพื่อสร้าง 0 ในเมทริกซ์ของคุณ บ่อยครั้งที่คุณจะต้องเพิ่ม (หรือลบ) หลาย ๆ ตัวจากแถวอื่น ในการทำสิ่งนี้ให้คุณทำการคูณสเกลาร์ก่อนจากนั้นเพิ่มผลลัพธ์นั้นในแถวเป้าหมายที่คุณพยายามจะเปลี่ยนแปลง
   • สมมติ; ว่ามีแถวที่ 1 จาก [1,1,2,6] และแถวที่ 2 จาก [2,3,1,1] คุณต้องการ 0 เทอมในคอลัมน์แรกของ R2 นั่นคือคุณต้องการเปลี่ยน 2 เป็น 0 ในการทำเช่นนี้คุณต้องลบ 2 คุณจะได้ 2 โดยการคูณแถวแรก 1 ด้วยการคูณสเกลาร์ 2 แล้วลบแถวแรกออกจากแถวที่สอง ในรูปแบบสั้นสามารถเขียนเป็น R2-2 * R1 ขั้นแรกให้คูณ R1 ด้วย 2 เพื่อให้ได้ [2,2,4,12] จากนั้นลบสิ่งนี้ออกจาก R2 เพื่อให้ได้ [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)] ทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นและ R2 ใหม่ของคุณจะเป็น [0,1, -3, -11]
5. คัดลอกแถวที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงขณะที่คุณทำงาน ในขณะที่คุณทำงานกับเมทริกซ์คุณจะเปลี่ยนทีละแถวไม่ว่าจะโดยการคูณสเกลาร์การเพิ่มแถวหรือการลบแถวหรือการรวมกันของขั้นตอน เมื่อคุณเปลี่ยนหนึ่งแถวตรวจสอบให้แน่ใจว่าได้คัดลอกแถวอื่น ๆ ของเมทริกซ์ของคุณในรูปแบบดั้งเดิม
   • ข้อผิดพลาดทั่วไปเกิดขึ้นเมื่อดำเนินการขั้นตอนการคูณรวมและการบวกในการย้ายครั้งเดียว ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องลบ R1 ออกจาก R2 สองครั้ง เมื่อคุณคูณ R1 ด้วย 2 เพื่อทำขั้นตอนนี้โปรดจำไว้ว่า R1 ไม่เปลี่ยนแปลงในเมทริกซ์ คุณทำการคูณเพื่อเปลี่ยน R2 เท่านั้น ก่อนอื่นให้คัดลอก R1 ในรูปแบบดั้งเดิมจากนั้นทำการเปลี่ยนแปลงเป็น R2
6. งานแรกจากบนลงล่าง ในการแก้ปัญหาระบบคุณทำงานในรูปแบบที่เป็นระเบียบมากโดยพื้นฐานแล้ว "แก้" เมทริกซ์ทีละเทอม ลำดับของอาร์เรย์สามตัวแปรจะมีลักษณะดังนี้:
   • 1. สร้าง 1 ในแถวแรกคอลัมน์แรก (R1C1)
   • 2. สร้าง 0 ในแถวที่สองคอลัมน์แรก (R2C1)
   • 3. สร้าง 1 ในแถวที่สองคอลัมน์ที่สอง (R2C2)
   • 4. สร้าง 0 ในแถวที่สามคอลัมน์แรก (R3C1)
   • 5. สร้าง 0 ในแถวที่สามคอลัมน์ที่สอง (R3C2)
   • 6. สร้าง 1 ในแถวที่สามคอลัมน์ที่สาม (R3C3)
7. ย้อนกลับจากด้านล่างขึ้นด้านบน ณ จุดนี้หากคุณทำตามขั้นตอนอย่างถูกต้องแสดงว่าคุณแก้ปัญหาได้ครึ่งทางแล้ว คุณต้องมีเส้นทแยงมุมเป็น 1 โดยมี 0 อยู่ด้านล่าง ตัวเลขในคอลัมน์ที่สี่ไม่สำคัญในจุดนี้ ตอนนี้คุณกลับไปด้านบนดังนี้:
   • สร้าง 0 ในแถวที่สองคอลัมน์ที่สาม (R2C3)
   • สร้าง 0 ในแถวแรกคอลัมน์ที่สาม (R1C3)
   • สร้าง 0 ในแถวแรกคอลัมน์ที่สอง (R1C2)
8. ตรวจสอบว่าคุณได้สร้างเมทริกซ์โซลูชันหรือไม่ ถ้างานของคุณถูกต้องคุณได้สร้างเมทริกซ์โซลูชันโดยมี 1 ในเส้นทแยงมุมของ R1C1, R2C2, R3C3 และ 0 ในตำแหน่งอื่น ๆ ของสามคอลัมน์แรก ตัวเลขในคอลัมน์ที่สี่เป็นคำตอบสำหรับระบบเชิงเส้นของคุณ

ส่วนที่ 3 ของ 4: รวมขั้นตอนเพื่อแก้ปัญหากาแล็กซี่

1. เริ่มต้นด้วยตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้น ในการปฏิบัติตามขั้นตอนเหล่านี้เริ่มจากระบบที่เราใช้ก่อนหน้านี้: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 และ x + y + z = 7 หากคุณเขียนสิ่งนี้ในเมทริกซ์คุณจะมี R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] และ R3 = [1,1,1,7]
2. สร้าง 1 ในตำแหน่งแรก R1C1 สังเกตว่า R1 เริ่มต้นด้วย 3 ณ จุดนี้คุณต้องเปลี่ยนเป็น 1 คุณทำได้โดยการคูณสเกลาร์คูณพจน์ทั้งสี่ของ R1 ด้วย 1/3 ในชวเลขคุณสามารถเขียนเป็น R1 * 1/3 สิ่งนี้จะให้ผลลัพธ์ใหม่สำหรับ R1 ถ้า R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] คัดลอก R2 และ R2 ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อ R2 = [2, -2,1, -3] และ R3 = [1,1,1,7]
   • โปรดทราบว่าการคูณและการหารเป็นเพียงฟังก์ชันผกผันของกันและกัน เราสามารถพูดได้ว่าเราคูณด้วย 1/3 หรือหารด้วย 3 โดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์
3. สร้าง 0 ในแถวที่สองคอลัมน์แรก (R2C1) ณ จุดนี้ R2 = [2, -2,1, -3] เพื่อให้เข้าใกล้เมทริกซ์โซลูชันมากขึ้นคุณต้องเปลี่ยนเทอมแรกจาก 2 เป็น 0 คุณสามารถทำได้โดยการลบสองเท่าของค่า R1 เนื่องจาก R1 เริ่มต้นด้วย 1 ในชวเลขการดำเนินการ R2- 2 * R1. จำไว้ว่าคุณไม่ได้เปลี่ยน R1 เพียงแค่ทำงานกับมัน ก่อนอื่นให้คัดลอก R1 ถ้า R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] ถ้าคุณเพิ่มค่า R1 เป็นสองเท่าในแต่ละเทอมคุณจะได้ 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6] สุดท้ายลบผลลัพธ์นี้ออกจาก R2 เดิมเพื่อรับ R2 ใหม่ของคุณ ระยะการทำงานตามเทอมการลบนี้จะกลายเป็น (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6) เราทำให้สิ่งเหล่านี้ง่ายขึ้นเป็น R2 ใหม่ = [0, -8 / 3,5 / 3, -9] สังเกตว่าเทอมแรกคือ 0 (เป้าหมายของคุณคืออะไร)
   • เขียนแถวที่ 3 (ซึ่งยังไม่เปลี่ยนแปลง) เป็น R3 = [1,1,1,7]
   • ระมัดระวังในการลบจำนวนลบเพื่อให้แน่ใจว่าสัญญาณยังคงถูกต้อง
   • ตอนนี้ก่อนอื่นเรามาทิ้งเศษส่วนไว้ในรูปแบบที่ไม่เหมาะสม ทำให้ขั้นตอนต่อไปของการแก้ปัญหาง่ายขึ้น คุณสามารถลดความซับซ้อนของเศษส่วนได้ในขั้นตอนสุดท้ายของปัญหา
4. สร้าง 1 ในแถวที่สองคอลัมน์ที่สอง (R2C2) ในการสร้างเส้นทแยงมุมของ 1 คุณต้องแปลงเทอมที่สอง -8/3 เป็น 1 ทำสิ่งนี้โดยการคูณทั้งแถวด้วยส่วนกลับกันของจำนวนนั้น (-3/8) ในเชิงสัญลักษณ์ขั้นตอนนี้คือ R2 * (- 3/8) แถวที่สองที่ได้คือ R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]
   • สังเกตว่าถ้าครึ่งซ้ายของแถวเริ่มคล้ายกับวิธีแก้ปัญหาด้วย 0 และ 1 ครึ่งขวาอาจดูน่าเกลียดโดยมีเศษส่วนไม่เหมาะสม เพียงแค่ปล่อยให้พวกเขาสำหรับสิ่งที่พวกเขาตอนนี้
   • อย่าลืมคัดลอกแถวที่ไม่มีการแตะต้องต่อไปดังนั้น R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] และ R3 = [1,1,1,7]
5. สร้าง 0 ในแถวที่สามคอลัมน์แรก (R3C1) ตอนนี้โฟกัสของคุณย้ายไปที่แถวที่สาม R3 = [1,1,1,7] ในการสร้าง 0 ในตำแหน่งแรกคุณต้องลบ 1 ออกจาก 1 ที่อยู่ในตำแหน่งนั้นในปัจจุบัน หากคุณมองขึ้นไปจะมี 1 ในตำแหน่งแรกของ R1 ดังนั้นคุณต้องลบ R1 ออกจาก R3 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่คุณต้องการ ระยะการทำงานของเทอมนี้จะกลายเป็น (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3) จากนั้นปัญหาย่อยทั้งสี่นี้สามารถทำให้ R3 ใหม่ = [0.2 / 3.4 / 3.4] ได้ง่ายขึ้น
   • คัดลอกต่อไปตาม R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] และ R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8] จำไว้ว่าคุณเปลี่ยนทีละแถวเท่านั้น
6. สร้าง 0 ในแถวที่สามคอลัมน์ที่สอง (R3C2) ปัจจุบันค่านี้คือ 2/3 แต่ต้องแปลงเป็น 0 เมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าคุณสามารถลบค่า R1 ได้สองเท่าเนื่องจากคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องของ R1 มี 1/3 อย่างไรก็ตามหากคุณเพิ่มเป็นสองเท่าและลบค่าทั้งหมดของ R1 0 ในคอลัมน์แรกของ R3 จะเปลี่ยนไปซึ่งคุณไม่ต้องการ นี่จะเป็นการย้อนกลับไปในการแก้ปัญหาของคุณ ดังนั้นคุณต้องทำงานร่วมกับ R2 บางส่วน การลบ 2/3 จาก R2 จะสร้าง 0 ในคอลัมน์ที่สองโดยไม่ต้องเปลี่ยนคอลัมน์แรก ในรูปแบบสั้นนี่คือ R3-2 / 3 * R2 คำศัพท์แต่ละคำจะกลายเป็น (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . การทำให้เข้าใจง่ายจะให้ R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24]
7. สร้าง 1 ในแถวที่สามคอลัมน์ที่สาม (R3C3) นี่คือการคูณอย่างง่ายด้วยผลต่างของจำนวนที่มันบอก ค่าปัจจุบันคือ 42/24 ดังนั้นคุณสามารถคูณด้วย 24/42 เพื่อให้ได้ค่าที่คุณต้องการ 1 สังเกตว่าสองพจน์แรกเป็น 0 ทั้งคู่ดังนั้นการคูณใด ๆ จึงยังคงเป็น 0 ค่าใหม่ของ R3 = [0,0,1,1]
   • โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ดูค่อนข้างซับซ้อนในขั้นตอนก่อนหน้ากำลังเริ่มแก้ไขแล้ว
   • ดำเนินการต่อด้วย R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] และ R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]
   • สังเกตว่า ณ จุดนี้คุณมีเส้นทแยงมุมของ 1 สำหรับเมทริกซ์โซลูชันของคุณ คุณต้องแปลงองค์ประกอบสามอย่างของเมทริกซ์เป็น 0 เพื่อค้นหาคำตอบของคุณ
8. สร้าง 0 ในแถวที่สองคอลัมน์ที่สาม ปัจจุบัน R2 คือ [0.1, -5 / 8.27 / 8] โดยมีค่า -5/8 ในคอลัมน์ที่สาม คุณต้องแปลงเป็น 0 ซึ่งหมายความว่าคุณต้องดำเนินการบางอย่างกับ R3 ที่ประกอบด้วยการเพิ่ม 5/8 เนื่องจากคอลัมน์ที่สามที่สอดคล้องกันของ R3 คือ 1 คุณต้องคูณค่าทั้งหมดของ R3 ด้วย 5/8 และเพิ่มผลลัพธ์ให้กับ R2 โดยย่อคือ R2 + 5/8 * R3 คำศัพท์สำหรับเทอมนี้คือ R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8) สามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น R2 = [0,1,0,4]
   • จากนั้นคัดลอก R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] และ R3 = [0,0,1,1]
9. สร้าง 0 ในแถวแรกคอลัมน์ที่สาม (R1C3) แถวแรกปัจจุบันคือ R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] คุณต้องแปลง -1/3 ในคอลัมน์ที่สามเป็น 0 โดยใช้ R3 ผสมกัน คุณไม่ต้องการใช้ R2 เนื่องจาก 1 ในคอลัมน์ที่สองของ R2 จะเปลี่ยน R1 ในทางที่ผิด คุณจึงคูณ R3 * 1/3 แล้วเพิ่มผลลัพธ์เป็น R1 สัญกรณ์นี้คือ R1 + 1/3 * R3 คำศัพท์สำหรับคำอธิบายผลใน R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3) คุณสามารถทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นเป็น R1 ใหม่ = [1,1 / 3,0,10 / 3]
   • คัดลอก R2 ที่ไม่เปลี่ยนแปลง = [0,1,0,4] และ R3 = [0,0,1,1]
10. สร้าง 0 ในแถวแรกคอลัมน์ที่สอง (R1C2) หากทำทุกอย่างถูกต้องควรเป็นขั้นตอนสุดท้าย คุณต้องแปลง 1/3 ในคอลัมน์ที่สองเป็น 0 คุณจะได้สิ่งนี้โดยการคูณและลบ R2 * 1/3 สั้น ๆ นี่คือ R1-1 / 3 * R2 ผลลัพธ์คือ R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3) การทำให้ง่ายขึ้นจะให้ R1 = [1,0,0,2]
11. ค้นหาเมทริกซ์โซลูชัน ณ จุดนี้หากทุกอย่างเป็นไปด้วยดีคุณจะมีสามแถว R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] และ R3 = [0,0,1,1] ต้องมี. โปรดสังเกตว่าถ้าคุณเขียนสิ่งนี้ในรูปแบบเมทริกซ์บล็อกโดยให้แถวหนึ่งอยู่ด้านบนอีกแถวคุณจะมีเส้นทแยงมุม 1 ที่มี 0 ต่อไปและคำตอบของคุณจะอยู่ในคอลัมน์ที่สี่ เมทริกซ์โซลูชันควรมีลักษณะดังนี้:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. ทำความเข้าใจกับโซลูชันของคุณ หลังจากแปลงสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แล้วคุณใส่ค่าสัมประสิทธิ์ x ในคอลัมน์แรกค่าสัมประสิทธิ์ y ในคอลัมน์ที่สองค่าสัมประสิทธิ์ z ในคอลัมน์ที่สาม หากคุณต้องการเขียนเมทริกซ์ใหม่ให้เป็นสมการอีกครั้งสามบรรทัดของเมทริกซ์นี้หมายถึงสมการสามสมการ 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 และ 0x + 0y + 1z = 1 เนื่องจากเราสามารถขีดฆ่า 0 เทอมและไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ 1 สมการทั้งสามนี้จึงง่ายต่อการแก้ปัญหา x = 2, y = 4 และ z = 1 นี่คือคำตอบสำหรับระบบสมการเชิงเส้นของคุณ

ส่วนที่ 4 จาก 4: ตรวจสอบโซลูชันของคุณ

1. รวมคำตอบในแต่ละตัวแปรในแต่ละสมการ เป็นความคิดที่ดีเสมอที่จะตรวจสอบว่าโซลูชันของคุณถูกต้องจริง คุณทำได้โดยการทดสอบผลลัพธ์ของคุณในสมการดั้งเดิม
   • สมการเดิมสำหรับปัญหานี้คือ 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 และ x + y + z = 7 เมื่อคุณแทนที่ตัวแปรด้วยค่าที่คุณพบคุณจะได้ 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 และ 2 + 4 + 1 = 7
2. ลดความซับซ้อนของการเปรียบเทียบ ดำเนินการในแต่ละสมการตามกฎพื้นฐานของการดำเนินการ สมการแรกลดความซับซ้อนเป็น 6 + 4-1 = 9 หรือ 9 = 9 สมการที่สองสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น 4-8 + 1 = -3 หรือ -3 = -3 สมการสุดท้ายคือ 7 = 7
   • เนื่องจากสมการใด ๆ ทำให้เป็นคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงได้ง่ายขึ้นคำตอบของคุณจึงถูกต้อง หากวิธีแก้ไขปัญหาใด ๆ ไม่ถูกต้องให้ตรวจสอบงานของคุณอีกครั้งและมองหาข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดทั่วไปบางอย่างเกิดขึ้นเมื่อกำจัดเครื่องหมายลบระหว่างทางหรือทำให้การคูณและการบวกเศษส่วนสับสน
3. เขียนคำตอบสุดท้ายของคุณ สำหรับปัญหานี้คำตอบสุดท้ายคือ x = 2, y = 4 และ z = 1

เคล็ดลับ

• หากระบบสมการของคุณซับซ้อนมากมีตัวแปรมากมายคุณอาจใช้เครื่องคำนวณกราฟแทนการทำงานด้วยมือได้ สำหรับข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องนี้คุณสามารถปรึกษา wikiHow ได้เช่นกัน